Десятизначное число

[Ward]

Здравствуйте!

Дано десятизначное число. Первая цифра равна числу нулей в нем, вторая числу единиц в нем, и.т.д. последняя числу девяток в нем. Найти это число?

Скажите пожалуйста как это решить?
Что-то в голову ничего не лезет.

[arseniiv]

Пусть это число $A = \overline{a_0a_1\ldots a_9}$. Тогда можно записать, к примеру, что по модулю 10 оно эквивалентно $a_0+a_1+\ldots+a_9$. Но оно эквивалентно в таком случае и $0a_0+1a_1+\ldots+9a_9$. Дальше не думал.

Ещё добавьте к этому $\sum_n a_n = 10$. Теперь можно видеть, что $A \equiv 0 \pmod{10}$. Значит, $a_0 \geqslant 1$. А другие $a_n \leqslant 9$ (фух, а я всё боялся, вдруг какое-то из них будет равно 10).

-- Пн июл 15, 2013 01:32:35 --

По-моему, тут должен быть какой-то другой симметричный подход, чтобы получить, к примеру, 10 уравнений. Не додумываюсь.

-- Пн июл 15, 2013 01:37:24 --

А вот, например, $a_0 + a_2 + \ldots + a_8 \equiv a_1 + a_3 + \ldots + a_9 \pmod2$. Чётность суммы цифр на чётных местах равна чётности суммы на нечётных, равно как и количество чётных цифр равно количеству нечётных.

-- Пн июл 15, 2013 01:42:11 --

Видно, что число не может быть целиком из разных цифр — тогда оно равно $1111111111$. Из одинаковых тоже не может — $1111111111$ снова не то. Может ли оно состоять из двух видов цифр? А из трёх?

-- after all --

Нашёл одно число небольшим подбором. А есть ли ещё, и сколько? (Надеюсь, вам все эти пространные замечания больше помогут!)

[iifat]

arseniiv в сообщении #745983 писал(а):

по модулю 10 оно эквивалентно $a_0+a_1+\ldots+a_9$

Вы с девяткой не путаете? Это ж у неё число эквивалентно сумме цифр по модулю.

[hippie]

Легко решается тупым перебором.

Поскольку $a_1+2a_2+3a_3+\dots+9a_9=10,$ то среди чисел $a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots,\ a_9$ не меньше 6 нулей. (5 нулей могло бы быть только в случае $a_1=a_2=a_3=a_4=1,$ что невозможно по условию.)
Следовательно, $a_{a_0}=1$ и $a_1+a_2+a_3+\dots+a_9=10-a_0 \le 4.$ Тогда $1<a_1<3.$ Поэтому $a_1=2$ и $a_2=1.$ Таким образом число содержит ровно 6 нулей и имеет вид: 6210001000.

[nnosipov]

Эту задачу можно сформулировать в общем виде.

Для данного $k \geqslant 1$ найдите все последовательности $(n_0,n_1,\dots,n_k)$ неотрицательных целых чисел, удовлетворяющие условию: число $j$ $(0 \leqslant j \leqslant k)$ встречается в последовательности в точности $n_j$ раз (не встречается, если $n_j=0$).

[mihailm]

Насколько я помню задача ТС из кванта для младших школьников

[Батороев]

hippie в сообщении #746020 писал(а):

Легко решается тупым перебором.

Поскольку $a_1+2a_2+3a_3+\dots+9a_9=10,$... Таким образом число содержит ровно 6 нулей и имеет вид: 6210001000.

Что-то раскладки и ответ не стыкуются.

[EtCetera]

Батороев в сообщении #746204 писал(а):

Что-то раскладки и ответ не стыкуются.

Разве?

[Батороев]

EtCetera в сообщении #746206 писал(а):

Батороев в сообщении #746204 писал(а):

Что-то раскладки и ответ не стыкуются.

Разве?

Подставляю в формулу значения из ответа и что?
Может, я во что-то не догоняю? (тоже не исключено - мозги на жаре подплавились ).

[EtCetera]

Батороев в сообщении #746211 писал(а):

Подставляю в формулу значения из ответа и что?

Действительно, что? Что не так-то?

[Батороев]

Сдается мне, что лучше начинать с первого разряда и рассматривать минимально возможные наборы.

Допустим, $a_0=1$. Тогда у числа должна быть цифра $9$, что ведет к тому, что должно быть $9$ одинаковых цифр.
Т.к. оставшихся мест $8$, то этими цифрами могут быть только $1$, что в свою очередь повлечет наличие других цифр, для которых места нет.
Следовательно, $a_0=0$.
Допустим, $a_1=1$. Тогда у числа должна быть цифра $8$, что ведет к тому, что должно быть $8$ одинаковых цифр.
Т.к. оставшихся мест $7$, то этими цифрами могут быть:
1. $0$. В этом случае не останется места для цифры $1$, которую мы использовали ($a_1=1$).
2. $1$. В этом случае в числе должны быть другие цифры, для которых места нет.
Следовательно, $a_1=0$.
И т.д.

-- 15 июл 2013 22:40 --

EtCetera в сообщении #746212 писал(а):

Батороев в сообщении #746211 писал(а):

Подставляю в формулу значения из ответа и что?

Действительно, что? Что не так-то?

Ответ: $6210001000$ (даже не беру в расчет, что в формуле $9$ цифр), подставляю в формулу:
$a_1+2a_2+3a_3\dots +9a_9=1\cdot 0+2\cdot 0+3\cdot0+4\cdot1+5\cdot0+6\cdot 0+7\cdot 0 +8\cdot 1 +9\cdot 2\ne 10$

[EtCetera]

Батороев в сообщении #746214 писал(а):

даже не беру в расчет, что в формуле $9$ цифр

Зря не берете, ведь поэтому и подставляете не правильно. Надо так: $6\cdot 0+2\cdot 1+1\cdot 2+0\cdot 3+0\cdot 4+0\cdot 5+1\cdot 6+0\cdot 7+0\cdot 8+0\cdot 9=10$

[arseniiv]

iifat в сообщении #746010 писал(а):

Вы с девяткой не путаете? Это ж у неё число эквивалентно сумме цифр по модулю.

Путаю. По модулю 10 число эквивалентно последней цифре…