Вопрос по сис. дифф. урав.

[TelmanStud]

Доброго всем дня!
Имею систему уравнений..
$\varphi_1''(x)-\mu \varphi_1(x)+\varphi_1(x) \left(a \varphi_1(x)^2+3a\varphi_2(x)^2\right)=0.$
$\varphi_2''(x)-\mu \varphi_2(x)+\varphi_2(x) \left(3 a \varphi_1(x)^2+a \varphi_2(x)^2\right)=0$
Легко проверить, что функции
$\varphi_1(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu}{a}}\left(\sqrt{2}\text{sech}(x\sqrt{\mu})+1\right), \varphi_2(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu}{a}}\left(-\sqrt{2}\text{sech}(x\sqrt{\mu})+1\right)$
являются решениями..
Заменой $p_1(\varphi_1)=\varphi_1'(x),p_2(\varphi_2)=\varphi_2'(x)$
систему можно привести к виду
$\frac{1}{2}(\varphi_1'(x))^2=-\frac{3}{2}a\varphi_1(x)^2\varphi_2(x)^2-\frac{1} {4}a\varphi_1(x)^4+\frac{1}{2}\mu\varphi_1(x)^2,$

$\frac{1}{2}(\varphi_2'(x))^2=-\frac{3}{2}a\varphi_2(x)^2\varphi_1(x)^2-\frac{1}{4}a\varphi_2(x)^4+\frac{1}{2}\mu\varphi_2(x)^2.$
А этой системе приведенные выше решения не удовлетворяют. Почему?????? Ведь все преобразования сделаны честно((.

[Otta]

Как Вы получили вторую систему? скажите словами, если можно.

[TelmanStud]

Otta в сообщении #746043 писал(а):

Как Вы получили вторую систему? скажите словами, если можно.

Ну в системе нет переменной $x$ и вот замена которая указана позволяет снизить порядок уравнения

[Otta]

Знаете, мне там, боюсь не продраться. Что половина коэффициентов потеряна - это точно. Но интересно, в результате каких манипуляций.

Что касается понижения порядка: попробуйте применить Вашу процедуру к уравнению $y''+y=0$. Интересно, что получится?

-- 15.07.2013, 11:59 --

Кажется, поняла я, что Вы сделали, хоть Вы и ушли в глубокую несознанку. ))
Вы проинтегрировали каждое уравнение, так ведь? А просю пардону, по какой переменной? Ведь совсем не по той, по которой было дифференцирование.

Верно я поняла Ваши действия?

Коэффициенты написал, молодец, но это не меняет общей ситуации.

[TelmanStud]

$\varphi_j''(x)=p_j'p_j$
подставляя и интегрируя в каждом уравнении по $\varphi_j$ получаем

-- 15.07.2013, 11:02 --

так все расписал же, чего там незаконного не разберусь

[Otta]

TelmanStud в сообщении #746061 писал(а):

подставляя и интегрируя в каждом уравнении по $\varphi_j$ получаем

Вооот! ну я прям провидица. Ладно. Забейте на правую часть. Объясните хотя бы для левой :) почему у Вас после такого странного интегрирования получится то, что Вы написали.

[TelmanStud]

Ну так справа получается, например в первом уравнении слева получается
$p_1'(\varphi_1)p_1(\varphi_1)$
По какой переменной его интегрировать если не по $p_1$, а справа по $\varphi_1$?

-- 15.07.2013, 11:58 --

Мда.............

[Otta]

TelmanStud в сообщении #746068 писал(а):

Мда.............

Вот и я того же мнения.
Давайте запишем Вашу систему честно, и Вы увидите, в чем дело, думаю. Ту, которая была.
$\frac12\frac {d}{d\varphi_1}(p_1^2)=\mu \varphi_1-\varphi_1\left(a \varphi_1^2+3a\varphi_2^2\right)$
$\frac12\frac {d}{d\varphi_2}(p_2^2)=\mu \varphi_2-\varphi_2 \left(3 a \varphi_1^2+a \varphi_2^2\right)$
И что уж Вы так сложно с ним. Или Вам принципиален именно этот способ? Сложите уравнения в исходной системе, все должно получиться гораздо быстрее.

PS Слева Вы по $\varphi$ интегрируете, а не по $p$.

-- 15.07.2013, 14:35 --

Но если Вам очень нужно, а Вы так и не поймете, в чем дело, я могу рассказать. Скажете, когда задача Вас победит. Ну или кто-нибудь еще расскажет.

[TelmanStud]

Otta
Ну а если теперь вернутся к $\varphi_j$? Разве не то же самое получится???

-- 15.07.2013, 15:21 --

и интегрирую я именно по $p_j$, так как у меня уравнение с разделяющимися переменными ${p_j,\varphi_j}$

[Otta]

TelmanStud в сообщении #746117 писал(а):

и интегрирую я именно по $p_j$, так как у меня уравнение с разделяющимися переменными ${p_j,\varphi_j}$

Вам не кажется странным, что в Вашем уравнении присутствует совершенно левая функция, определяемая в т.ч. другим уравнением? И что производная от левой части, которая априори заявлена как функция одного аргумента, зависит еще от какого-то?

TelmanStud в сообщении #746117 писал(а):

и интегрирую я именно по $p_j$,

Не, ну если так Вы это воспринимаете, то конечно. Моих предыдущих слов это, правда, не отменяет.

[TelmanStud]

Ну и как тогда посоветуете понизить порядок или еще лучше прийти к исходно записанным решениям??

[Otta]

Я ж уже посоветовала: сложите исходные дифуры. Будет очень приличное уравнение, которое легко решается.

[TelmanStud]

Она же только усложнится

[Otta]

Нет.

[TelmanStud]

Да там полный куб, извиняюсь!