Непонятная детская задача по арифметике

[Ktina]

Найти число, которое равно разности куба цифры его единиц и квадрата цифры его десятков.

Вроде, 23 подходит. Это так, навскидку...
Неужели только бестолковый перебор?

[angor6]

Ktina
Для детей, по-видимому, подходящим алгоритмом будет перебор. Так развивается устный счёт и сообразительность. Да и взрослым, учитывая, что число двухначное, проще воспользоваться перебором, чем решать уравнение $10x+y=y^3-x^2.$ Я, например, решил перебором за три минуты.

[provincialka]

Ну, не сказано, что двузначное. Хотя, конечно, определяется двумя цифрами. Если применить сравнение по модулю 10, остается 13 вариантов.

[svv]

$100a+10b+c=c^3-b^2$ (для меня неочевидно, что нет сотен, ведь куб цифры может быть трехзначным)
$100a+10b+b^2=c^3-c$
Итак, число $b^2$ оканчивается той же цифрой, что и $c^3-c$.
А $c^3-c$ для большей части цифр ($0,1,4,5,6,9$) оканчивается нулём, чего быть не может;
для $c=2,7$ оканчивается цифрой $6$ (и тогда $b$ равно $4$ или $6$),
для $c=3,8$ оканчивается цифрой $4$ (и тогда $b$ равно $2$ или $8$).

[Ktina]

provincialka в сообщении #745767 писал(а):

Ну, не сказано, что двузначное. Хотя, конечно, определяется двумя цифрами. Если применить сравнение по модулю 10, остается 13 вариантов.

Из которых только два годятся.

[provincialka]

Какой второй?

[Ktina]

provincialka в сообщении #745795 писал(а):

Какой второй?

1

[Евгений Машеров]

"Сокращённый перебор".
Чётность числа и его куба одинаковы. Следовательно, "число десятков" чётное. Перебирать надо лишь 2, 4, 6 и 8 (в неявном предположении, что число двузначное).
Число единиц перебирается от 3 (1 и 2 в кубе никак не дадут двузначное) до 5 (6 в кубе уже 216 и вычитанием квадрата однозначного числа не превращается в двузначное).
То есть перебрать надо 23, 24, 25, 43, 44, 45, 63, 64, 65, 83, 84, 85. 12 вариантов вместо 90.
Вполне посильно сообразить школьнику. Особенно ленивому, хоть и умному;) Старательный пускай перебирает все 90.
Очень умный сообразит, что $3^3=27$, $4^3=64$, $5^3=125$ и некоторые комбинации вычёркиваются без вычислений (скажем, чтобы искомое число кончалось на тройку, квадрат числа десятков должен заканчиваться на 4, подходят лишь 2 и 8, но 8 слишком велико, только 23; чтобы на четвёрку - квадрат числа десятков должен заканчиваться на 0, что исключено предположением об "истинно двузначном числе"; чтобы на 5 - то же самое).
Так что три пути решения:
"Твёрдый троечник", тупой, но старательный, перебирает все 90.
"Старательный отличник" организует работу правильным образом, оставляя 12 "кандидатов", и перебирает лишь их.
"Умный отличник" догадывается, что не все числа могут быть квадратами и кубами и устраняет лишние, не вычисляя.

[Ktina]

Евгений Машеров,
Спасибо!

[provincialka]

Ktina в сообщении #745797 писал(а):

provincialka в сообщении #745795 писал(а):

Какой второй?

1

тогда уж и 0

[Ktina]

provincialka
В принципе, да