О жесткости неинерциальных систем отсчёта

[Munin]

(Оффтоп)

Source в сообщении #745544 писал(а):

А вот обобщёнными функциями не умеет пользоваться тот, кто считает, что $\mathrm{sign}^2(t)=1$ или планирует делить такие функции друг на друга.

Не хамите-ка, а?

[Source]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #745547 писал(а):

Source в сообщении #745544 писал(а):

А вот обобщёнными функциями не умеет пользоваться тот, кто считает, что $\mathrm{sign}^2(t)=1$ или планирует делить такие функции друг на друга.

Не хамите-ка, а?

Простите, уважаемый Munin. А в каком месте приведенной цитаты Вы обнаружили у меня хамстово?
И чем эта фраза отличается от

epros в сообщении #p745409 писал(а):

Кто не умеет пользоваться обобщёнными функциями, тот может использовать регуляризацию и получить за двадцать строчек тот же результат, который можно было получить за две строчки.

Или высокомерие и снобизм это прерогатива исключительно Заслуженных Участников?

[Aer]

Прошу участников обсуждения быть взаимно вежливыми.

[В. Войтик]

Source в сообщении #745367 писал(а):

epros в сообщении #745343 писал(а):

Source в сообщении #745327 писал(а):

Прежде чем вычислять пространственную метрику, стоит выяснить чему у Вас равен $\operatorname{sign}(0)$.

Неужели? И что оно изменит — это значение в единственный момент?

Всё.

Полностью с Вами, Source согласен.
Собственно, а что такого, epros, Вы показали? Ну в неинерциальной системе отсчёта связанной со стержнем мы видим в нулевой момент времени не пойми что и, в остальные моменты, когда он инерциальный, что стержень жёсткий. Так это не удивительно. Зато в инерциальных системах наблюдаем парадоксы.

[epros]

Source в сообщении #745544 писал(а):

А вот обобщёнными функциями не умеет пользоваться тот, кто считает, что $\mathrm{sign}^2(t)=1$ или планирует делить такие функции друг на друга.

Меня интересует значение метрики в точках $t \ne 0$, где соответствующее равенство выполняется. А в точке $t = 0$ её можно доопределить любыми конечными значениями и это ни на что не влияет, потому что все промежутки времени по любым часам, все расстояния и все прочие подобные величины вычисляется интегралами от выражений, включающих метрику. А значение интеграла не зависит от выбора конечного значения подинтегрального выражения в отдельной точке.

Source в сообщении #745544 писал(а):

Вообще, то как Вы попытались использовать преобразования (фактически отдельно для $t<0$ и для $t>0$), подтверждает мою первоначальную реконструкцию Ваших рассуждений c $dt^2-dx^2$ для двух ИСО. Только Вы их замаскировали абсолютно ненужными координатными преобразованиями, аналог которых я рассматривал в сообщении p745086.

Координатная сетка определена отнюдь не «отдельно для $t<0$ и для $t>0$», а единая, что Вам не нравится? Да, метрика будет иметь разрыв в точке $t = 0$, а конкретно: от разрыва компоненты $g_{0 1}$ никуда не деться. Но в чём проблема? Это координатная сетка? Да. Метрику в ней можно записать? Да. Что ещё-то Вам нужно?

Про «реконструкцию моих рассуждений»: она неправильная. Метрика в сопутствующих стержню координатах не может совпадать с $dt^2-dx^2$. Если мы выберем синхронную координату $t$ до разворота стержня, то она окажется несинхронной после разворота. И наоборот.

Касательно же упомянутого сообщения: Там Вы употребили весьма спорную терминологию, назвав «ИСО» координатную сетку с несинхронной координатой $t$. В любом случае, такие координаты не являются сопутствующими стержню, ибо они могут сопутствовать ему либо только до, либо только после разворота.

Source в сообщении #745544 писал(а):

Это не значит для того, кто не понимает разницы между координатным временем и физическим. Например, в упомянутом выше сообщении p745086 для ИСО в координатах $(t,x)$ момент координатного времени $t=0$ соответствует для различных точек СО различным значениям физического времени. Это та самая относительность одновременности, с которой Вы почему-то не дружите.

Очевидно, что Вы как раз этой разницы не понимаете. Поэтому предлагаю Вам для начала привести определение «физического времени».

А поскольку Вы уже в пятый раз упоминаете относительность одновременности (тоже, очевидно, не вполне понимая о чём речь), то я в четвёртый раз прошу Вас (и настаиваю ) привести определение одновременности.

-- Сб июл 13, 2013 14:36:05 --

В. Войтик в сообщении #745612 писал(а):

Собственно, а что такого, epros, Вы показали? Ну в неинерциальной системе отсчёта связанной со стержнем мы видим в нулевой момент времени не пойми что и, в остальные моменты, когда он инерциальный, что стержень жёсткий.

Попробую Вам объяснить что это значит. А значит это, что как бы мы ни определили «гиперповерхности одновременности» $t = \operatorname{const}$, длина стержня, измеренная «в заданный момент $t$», будет равна одному и тому же $L$. Единственным исключением является тот случай, если мы ухитримся приурочить момент измерения строго к той гиперповерхности, на которой стержень разворачивается. Но в этом особом случае никакие формальные рассуждения о значении метрики на этой гиперповерхности нам не помогут — процедуру измерения расстояний для данного случая придётся оговаривать отдельно. В частности, если мы попытаемся измерить «локальные локационные расстояния» строго в момент разворота, то результат будет зависеть от направления посылки сигнала (вправо или влево).

В. Войтик в сообщении #745612 писал(а):

Так это не удивительно.

Напомню, что задача заключалась не в том, чтобы удивить, а в том, чтобы на простом одномерном примере продемонстрировать, что глобальные локационные расстояния не совпадают с интегралом локальных локационнных расстояний.

Но мы что-то к решению этой задачи никак не подберёмся через дебри непонимания.

В. Войтик в сообщении #745612 писал(а):

Зато в инерциальных системах наблюдаем парадоксы.

Какие парадоксы?

[В. Войтик]

epros в сообщении #745644 писал(а):

Меня интересует значение метрики в точках $t \ne 0$, где соответствующее равенство выполняется. А в точке $t = 0$ её можно доопределить любыми конечными значениями

Интересно как это Вы доопределите, если метрика не является независимой, а целиком определяется Вашим преобразованием. А оно не указывает значение метрики в $t = 0$. Если насильственно доопределить это значение, то тогда надо изменить Ваше преобразование, чтобы оно учитывало это доопределение.

Причём заметьте, что Вы сами себе противоречите. Вы говорили, что $x$ является физической координатой. Это подразумевает значение пространственной метрики равной 1 всегда. А в нуле она у Вас не определена.

epros в сообщении #745644 писал(а):

и это ни на что не влияет, потому что все промежутки времени по любым часам, все расстояния и все прочие подобные величины вычисляется интегралами от выражений, включающих метрику. А значение интеграла не зависит от выбора конечного значения подинтегрального выражения в отдельной точке.

Это Вы говорите о собственных физических величинах. А на координатные влияет.

epros в сообщении #745644 писал(а):

Координатная сетка определена отнюдь не «отдельно для $t<0$ и для $t>0$», а единая, что Вам не нравится? Да, метрика будет иметь разрыв в точке $t = 0$, а конкретно: от разрыва компоненты $g_{0 1}$ никуда не деться. Но в чём проблема? Это координатная сетка? Да. Метрику в ней можно записать? Да. Что ещё-то Вам нужно?

Проблема в парадоксах, которые сопутствуют таким метрикам.

epros в сообщении #745644 писал(а):

В. Войтик в сообщении #745612 писал(а):

Так это не удивительно.

Напомню, что задача заключалась не в том, чтобы удивить, а в том, чтобы на простом одномерном примере продемонстрировать, что глобальные локационные расстояния не совпадают с интегралом локальных локационнных расстояний.

Это понятно, но Ваш пример неудачен, поскольку не может быть реализован даже теоретически.

epros в сообщении #745644 писал(а):

В. Войтик в сообщении #745612 писал(а):

Зато в инерциальных системах наблюдаем парадоксы.

Какие парадоксы?

Да например вот здесь

В. Войтик в сообщении #744441 писал(а):

Source в
[quote="epros в сообщении #744438 писал(а):

Неужели какие-то физические законы нам мешают сколь угодно быстро изменить скорость любой точки стержня?

Ну, если Вы говорите о стержне, то да, мешают. Предположим, что стержень двигался инерциально и внезапно изменил скорость каждой своей точки до 0, т.е. стержень остановился. Что мы увидим в лабораторной системе? Что длина стержня увеличилась скачком. Это очевидно невозможно. Данное противоречие и приводит к выводу, что стержень не может изменить свою скорость скачком. Другое дело 2 материальные точки несвязанные друг с другом...

Чем Вам не парадокс? И это, насколько я знаю, не единственный парадокс. Ещё в книге Мёллера «Теория относительности» упоминается парадокс связанный с часами. Сейчас я не готов Вам его сформулировать. Логунов тоже говорит в своей монографии, что метрический тензор должен быть непрерывной величиной. Вообще в теории относительности лучше не использовать разрывное собственное ускорение. Это ни к чему хорошему не приводит.

[Munin]

В. Войтик в сообщении #745698 писал(а):

Чем Вам не парадокс?

Тем, что неправильно рассчитан. Нарисуйте мировую полосу такого стержня...

[Source]

epros в сообщении #745644 писал(а):

Касательно же упомянутого сообщения: Там Вы употребили весьма спорную терминологию, назвав «ИСО» координатную сетку с несинхронной координатой $t$.

А что же здесь спорного? ИСО, как и другую любую СО, мы можем описывать в любых допустимых координатах. Главное уметь из координатных величин корректно получать физические величины. "Несинхронность" не является критерием недопустимости. К слову, и в Ваших преобразованиях и в моих касательно стержня, время $t$ является координатным и ни коем образом не является синхронным (в смысле одновременности физических часов).
К стержню, мой пример с галилеевым преобразованием, естественно, прямого отношения не имеет.

epros в сообщении #745644 писал(а):

А поскольку Вы уже в пятый раз упоминаете относительность одновременности (тоже, очевидно, не вполне понимая о чём речь), то я в четвёртый раз прошу Вас (и настаиваю ) привести определение одновременности.

Примерно половина моих сообщений в этой теме была посвящена понятию одновременности в произвольных СО. Войтик В. даже предлагал тему переименовать. :). Что же, раз Вы настаиваете повторю ещё раз.

Существует эйнштейновское определение синхронности (=синхронизируемости) часов в СО. Если из точки A в момент физического времени $\tau_{A1}$ посылается сигнал в точку B, там отражается в момент $\tau_B$ (по физическим часам в точке B) и возвращается в A в момент $\tau_{A2}$, то часы считаются синхронизированными, если выполняется соотношение:

$$\tau_B = \tau_{A1}+\frac{\tau_{A2}-\tau_{A1}}{2}=\frac{\tau_{A2}+\tau_{A1}}{2}.$$

Дополнительно предполагаются выполнимыми требования непротиворечивости процедуры: симметричноcть (та же процедура из B в А) и транзитивность (из A в B и далее в С тоже, что сразу из A в С). В ИСО такое операционное определение всегда реализуемо и позволяет ввести в рамках данной ИСО единое синхронизированное время. Фактически в эйнштейновском определении заложено утверждении об изотропности физической скорости света.

В НИСО эйнштейновская процедура синхронизации (вместе с условиями непротиворечивости) не всегда возможна. Критерием возможности синхронизации часов вдоль некоторой линии в произвольных координатах служит форма ($i=1,2,3$)

$$\delta\tau=\sqrt{g_{00}}\,dt+\frac{g_{0i}\,dx^i}{\sqrt{g_{00}}}}.$$

Если она является полным дифференциалом по $t$ и $x^i$, то можно записать функцию $\tau=\tau(t,x^i)$, дающую значение синхронизированных (в эйнштейновском смысле) часов по значению координат и координатного времени события в данной точке. В частности, одновременный момент координатного времени (например, $t=0$) может соответствовать различным физическим моментам времени для различных точек пространства. Во вращающейся СО на сегменте окружности возможно ввести такую синхронизацию, тогда как на всей замкнутой окружности нельзя. В равноускоренных СО (хоть жестких, хоть нежестких) эйнштейновская синхронизация вдоль вектора ускорения невозможна, но возможна в перпендикулярном направлении, и т.д. Замечу, что невозможность синхронизации удалённых часов, вообще говоря не означает отсутствия возможности локальной синхронизации бесконечно близких часов.

Существует определение синхронизированного времени от Ландау-Лифшица. Оно отличатся от эйнштейновского (если svv меня не переубедит). В некотором смысле это однократный способ задания начального отсчёта показания координатных часов. В отличие от бесчисленного числа других способов, этот способ совпадает с эйнштейновским в бесконечно малом, и иногда для удалённых часов.

Наконец, позволю себе следующую сентенцию. Физика теории относительности - это наблюдатели, часы и линейки. Координаты, метрика и т.п. это лишь математические способы описания физики. Если за этими способами не видят наблюдателей с их измерительными процедурами, то это плохо.
В примере со стержнем, пока наблюдатели не испытывают ускорения, они являются инерциальными. По крайней мере в своей окрестности для интервала между событиями они могут пользоваться выражением $ds^2=dt^2-dx^2$ для физических величин. Такие наблюдатели имеют единое синхронизированное время. Для них события смены скоростей точек стержня происходят неодновременно и некоторое время стержень уменьшает свою собственную длину.

[Munin]

Source в сообщении #745709 писал(а):

Наконец, позволю себе следующую сентенцию. Физика теории относительности - это наблюдатели, часы и линейки. Координаты, метрика и т.п. это лишь математические способы описания физики. Если за этими способами не видят наблюдателей с их измерительными процедурами, то это плохо.

Насчёт координат вы правы. А насчёт метрики ошиблись. Метрика - это те же самые часы, линейки, другие приборы, физические явления. Надо отличать метрику саму по себе, как функцию расстояния на многообразии, от формул метрики в некоторой выбранной системе координат - координатного вида метрики. Во многих книгах их часто тоже называют просто метрикой, не акцентируя или даже вообще не оговаривая этого различия. Надо его для себя хорошо уяснить, и читать книги внимательней к этому нюансу.

Source в сообщении #745709 писал(а):

По крайней мере в своей окрестности для интервала между событиями они могут пользоваться выражением $ds^2=dt^2-dx^2$ для физических величин.

Нету никаких "физических величин" $dt$ и $dx$ - это всегда координаты. Но координаты в малой окрестности точки могут быть выбраны "удобные" - нормальные, как они называются в дифференциальной геометрии, или галилеевы, как они называются в Ландау-Лифшице. Предпочтительнее термин "нормальные".

[epros]

Source в сообщении #745709 писал(а):

А что же здесь спорного? ИСО, как и другую любую СО, мы можем описывать в любых допустимых координатах. Главное уметь из координатных величин корректно получать физические величины.

Корректно вычислять измеримые физические величины можно из любых координат. Вопрос в том, что такое «ИСО» и чем она отличается от «любой другой СО». Какова Ваша версия?

Source в сообщении #745709 писал(а):

"Несинхронность" не является критерием недопустимости.

Разумеется любые координаты допустимы. Но когда говорят про ИСО, насколько я знаю, рассматривают только синхронное время. Иначе, знаете ли, поделив расстояние, пройденное светом, на промежуток времени, можно получить совсем не $c$. А сей результат не дружен со вторым постулатом.

Source в сообщении #745709 писал(а):

Существует эйнштейновское определение синхронности (=синхронизируемости) часов в СО. Если из точки A в момент физического времени $\tau_{A1}$ посылается сигнал в точку B, там отражается в момент $\tau_B$ (по физическим часам в точке B) и возвращается в A в момент $\tau_{A2}$, то часы считаются синхронизированными, если выполняется соотношение:

$$\tau_B = \tau_{A1}+\frac{\tau_{A2}-\tau_{A1}}{2}=\frac{\tau_{A2}+\tau_{A1}}{2}.$$

Окей, про Эйнштейновскую процедуру синхронизации я в курсе. Вопрос в том, как Вы её предполагаете применить при неинециальном движении часов A? Вот, скажем, послали Вы в момент $\tau_{A1}$ сигнал в сторону точки B, а к моменту $\tau_{A2}$, когда Вы поймали отражённый от неё сигнал, часы A уже некоторое время как успели изменить скорость. Всё равно будем считать, что если указанное выше равенство выполняется, то часы синхронны?

Source в сообщении #745709 писал(а):

Дополнительно предполагаются выполнимыми требования непротиворечивости процедуры: симметричноcть (та же процедура из B в А) и транзитивность (из A в B и далее в С тоже, что сразу из A в С).

Давайте пока не будем говорить про дополнительные условия, ибо это увело бы нас от темы.

Source в сообщении #745709 писал(а):

В ИСО такое операционное определение всегда реализуемо и позволяет ввести в рамках данной ИСО единое синхронизированное время.

Давайте про синхронизацию в ИСО тоже пока говорить не будем. Ибо наша задача — разобраться с жёсткостью в неинерциальных СО. Так что давайте уточним, что Вы понимаете под одновременностью применительно к неинерциальной СО. Вы ведь применяли это понятие применительно к СО неинерциально движущегося стержня?

Source в сообщении #745709 писал(а):

Наконец, позволю себе следующую сентенцию. Физика теории относительности - это наблюдатели, часы и линейки. Координаты, метрика и т.п. это лишь математические способы описания физики. Если за этими способами не видят наблюдателей с их измерительными процедурами, то это плохо.
В примере со стержнем, пока наблюдатели не испытывают ускорения, они являются инерциальными. По крайней мере в своей окрестности для интервала между событиями они могут пользоваться выражением $ds^2=dt^2-dx^2$ для физических величин. Такие наблюдатели имеют единое синхронизированное время. Для них события смены скоростей точек стержня происходят неодновременно и некоторое время стержень уменьшает свою собственную длину.

А Вы-то сами видите за «координатами, метрикой и т.п.» наблюдателей с их измерительными процедурами? Вот Вы говорите, что для наблюдателей на концах стержня «события смены скоростей точек стержня происходят неодновременно». А Вы продумали о том, что если наблюдатель на стержне попытается определить в какой именно момент (по его часам) произошёл разворот той или иной точки стержня, то как раз между моментом посылки сигнала $\tau_{A1}$ и моментом получения отражённого сигнала $\tau_{A2}$ он будет иметь несчастье поменять скорость? Так что события разворота точек стержня никак не находятся «в его окрестности» (как Вы выразились), поэтому с позиции той или иной сопутствующей ИСО своей «инерциальности в тот или иной момент» он об их одновременности или неодновременности судить никак не может.

[Source]

В. Войтик в сообщении #744441 писал(а):

Предположим, что стержень двигался инерциально и внезапно изменил скорость каждой своей точки до 0, т.е. стержень остановился. Что мы увидим в лабораторной системе? Что длина стержня увеличилась скачком. Это очевидно невозможно. Данное противоречие и приводит к выводу, что стержень не может изменить свою скорость скачком. Другое дело 2 материальные точки несвязанные друг с другом...

Парадокса (=противоречия) в этом нет. По крайней мере он не сформулирован.
Но Вы правы в том, что без указания способа торможения (даже очень быстрого) вопрос о длине стержня после остановки лишен смысла.
Поясню. Возможны по крайней мере два таких способа:

Торможение Белла. Точки стержня синхронно тормозятся относительно лабораторной СО. В этом случае, длина стержня после остановки окажется неизменной для наблюдателей в лабораторной системе. Однако для наблюдателей, связанных со стержнем, он сожмётся, уменьшив свою собственную длину.

Жесткое торможение. Его контролируют наблюдатели, связанные со стержнем, выдерживая длину стержня неизменной. В этом случае в лабораторной СО начало торможения точек стержня начнется неодновременно (хотя остановятся они одновременно). Длина стержня будет в лабораторной СО увеличиваться и к моменту остановки вырастет в $1/\sqrt{1-v^2}$ раз. Собственная длина будет всё время (по условию торможения) неизменной.

to Munin:
Ваши уточнения принимаются. Согласен.

[В. Войтик]

Source. epros говорит о жёстком в собственной системе стержне. Произвольное движение жёсткого стержня невозможно. Попробую завтра математически описать парадокс.

[Munin]

Source в сообщении #745743 писал(а):

Ваши уточнения принимаются. Согласен.

А я думал, спорить придётся. Приятно.

[epros]

В. Войтик в сообщении #745744 писал(а):

Source. epros говорит о жёстком стержне. Произвольное движение жёсткого стержня невозможно. Поэтому конечно второй вариант. Жесткое торможение

Я-то говорил о жестком стержне, а вот Вы — невесть о чём.

[Source]

epros в сообщении #745741 писал(а):

Вопрос в том, что такое «ИСО» и чем она отличается от «любой другой СО». Какова Ваша версия?

Например, тем, что компоненты физической скорости свободной частицы в окрестности наблюдателей в данной области пространства постоянны. Про область, это я к тому, что метрика $ds^2=dt^2-dx^2$ не обязательно должна покрывать всё пространство-время (как это и происходит в Вашей задаче). А Ваша?

epros в сообщении #745741 писал(а):

Разумеется любые координаты допустимы. Но когда говорят про ИСО, насколько я знаю, рассматривают только синхронное время. Иначе, знаете ли, поделив расстояние, пройденное светом, на промежуток времени, можно получить совсем не $c$. А сей результат не дружен со вторым постулатом.

Поделив физическое расстояние на физическое время Вы всегда получите $c$ в любой СО и в любых координатах. А вот координатная скорость света, конечно, может быть произвольной.

epros в сообщении #745741 писал(а):

Вот, скажем, послали Вы в момент $\tau_{A1}$ сигнал в сторону точки B, а к моменту $\tau_{A2}$, когда Вы поймали отражённый от неё сигнал, часы A уже некоторое время как успели изменить скорость. Всё равно будем считать, что если указанное выше равенство выполняется, то часы синхронны?

Не обязательно, потому, что нельзя обойтись без:

epros в сообщении #745741 писал(а):

Давайте пока не будем говорить про дополнительные условия, ибо это увело бы нас от темы.

Эйнштеновский эксперимент позволяет однократно зафиксировать начальные отсчёты времени на двух часах. Но выяснение того являются ли они синхронизированными требует применения условий непротиворечивости. В частности, повторное проведение этого эксперимента должна приводить к тому же результату.

epros в сообщении #745741 писал(а):

Так что давайте уточним, что Вы понимаете под одновременностью применительно к неинерциальной СО. Вы ведь применяли это понятие применительно к СО неинерциально движущегося стержня?

Я это написал - $\delta \tau$ - полный дифференциал. Для стержня применить синхронизацию можно только в бесконечно малом. Но это и не нужно (см. ниже)

epros в сообщении #745741 писал(а):

А Вы продумали о том, что если наблюдатель на стержне попытается определить в какой именно момент (по его часам) произошёл разворот той или иной точки стержня, то как раз между моментом посылки сигнала $\tau_{A1}$ и моментом получения отражённого сигнала $\tau_{A2}$ он будет иметь несчастье поменять скорость? Так что события разворота точек стержня никак не находятся «в его окрестности» (как Вы выразились), поэтому с позиции той или иной сопутствующей ИСО своей «инерциальности в тот или иной момент» он об их времени судить никак не может.

Как не подумать. Конечно подумал. Пока стержень летит равномерно, наблюдатели на концах синхронизируют свои часы (повторяя многократно соответствующую процедуру). В момент когда наблюдатели почувствовали ускорение они смотрят на свои часы, а затем сообщают (если разворот переживут ) друг другу эти показания. Естественно при "бесконечно быстром" (в лабораторной СО) перевороте они провести очередную синхронизацию не успеют. И не потому, что для них разворот происходит одновременно, а потому, что время $vl$ неодновременности для них меньше, чем $l$

Munin в сообщении #745746 писал(а):

А я думал, спорить придётся. Приятно.