Проверить множества на выпуклость

[devgen]

Выберите из указанных множеств выпуклое:
$z\geq 9x^2+12xy+3y^2+6x-4y$
$z\leq 9x^2-6xy+2y^2-8x+2y$
$4x^2+4y^2+11z^2-12xz-4yz\leq 4$
$x^2+3y^2+2z^2+2xz+4yz\leq 4$

Выпуклое множество -- если любые две точки этого множества лежат целиком в этом множестве со своим отрезком.

Была идея либо потыкать точки "простые" точки типа $(1,0,0)$ $(0,0,1)$ и взять точку между ними, но не получилось. Либо взять и подставить точку $(tx_1+(1-t)x_2;ty_1+(1-t)y_2;tz_1+(1-t)z_2)$, где $(x_i,y_i,z_i)$ принадлежит множеству, но это очень громоздко выходит.

Как нужно делать?

[mihailm]

Для начала замените знак неравенства на равенство и скажите что это за фигура получится

[devgen]

mihailm
Это какие-то поверхности второго порядка. Можно как-то научиться определить какие, без того чтобы приводить к каноническому виду?

[Slumber]

Так проще, по определению функция называется выпуклой, если надграфик - выпуклое множество. Тип определяется инвариантами.

[devgen]

Slumber
Т.е. все четыре уравнения приводить к каноническому виду?

[Slumber]

Честно, не знаю как проще. Если Гессиан положительно определен или положительно полуопределен для всех $x,y$, то функция будет выпукла.
Для первой будет нет, вроде как.
$\left(\begin{array}{cc} 18 & 12\\ 12 & 6\\ \end{array}\right)$

но вот в этом я не очень, посмотрим что еще скажут.

-- 12.07.2013, 15:38 --

Вольфрам на первый говорит гиперболический параболоид, так что правильно.

Вторая выпукла -
$\left(\begin{array}{cc} 18 & -6\\ -6 & 4\\ \end{array}\right)$
- элиптический параболоид. Есть глобальный минимум, но мы находимся снизу, потому не пойдет.

Дальше пошли матрицы три на три
$\left(\begin{array}{ccc} 8 & 0 &-12\\0 & 8 & -4\\-12 & -4 & 22 \end{array}\right)$

положительно определена, есть глобальный минимум, у нас $f(x,y,z) \leq t_0$ - должно быть все нормально. отрезали кусочек. Если 4 ниже вершины, то пустое всегда выпукло.

-- 12.07.2013, 15:57 --

Наконец последняя имеет Гессиан
$\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 2\\0 & 6 & 4\\2 & 4 & 4 \end{array}\right)$

Определитель = -8, а первый минор = 12, потому невыпукла, наверно, тогда ничего нет. Это выполняется и для тех ${x,y,z}:f(x,y,z)\leq 4$ - так, как в гессиане вообще числа.

Значит, тогда ответ только третья. Я все.

[mihailm]

devgen в сообщении #745412 писал(а):

Slumber
Т.е. все четыре уравнения приводить к каноническому виду?

Хватит даже типа поверхности

[Slumber]

mihailm

Цитата:

Хватит даже типа поверхности

С двумя последними даже это будет тяжело, по-моему.