Египетские дроби

[Dave]

Для каждого натурального $n$ рассмотрим уравнение

$$\frac 1 x + \frac 1 y=\frac 1 n.$$

Пусть $R_n^+$ - количество решений этого уравнения в натуральных числах, а $R_n$ - количество решений в целых числах. Докажите, что

$$R_n=2R_n^+ -1.$$

[Руст]

Каждой взаимно простой паре $(a,b)=1$ натуральных $(a,b)=1$ делителей числа $n$ сопоставим
решение $x=ad,y=bd, d=(a+b)\frac{n}{ab}$. Это дает все решения $R_{n+}$.
Если позволить числу $b$ быть отрицательным получаем дополнительно решения в целых числах
$x=ad,y=bd=-|b|d,d=(a-|b|)\frac{n}{-a|b|}$ за исключением случая $a=b=1$. Отсюда результат.

[Shadow]

Подобная тема здесь http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=690057#p690057
$x=\dfrac{ny}{y-n}=n+\dfrac{n^2}{y-n}$
Число решений зависит от число делителей $n^2$. В целых все делители кроме $-n$ дают ненулевое решение.
Для отрицательных делителей или $y<0, \text{ или } x<0$, положительные делители дают положительные решения, так что...

[Dave]

Отображение $(x,y) \leftrightarrow (2n-x,2n-y)$ задаёт взаимно-однозначное соответствие между натуральными (при условии $x \ne y$) и целыми парами решений, ибо

$$\frac 1 x + \frac 1 y=\frac 1 n \; \Leftrightarrow \; \frac 1 {2n-x} + \frac 1 {2n-y}=\frac 1 n.$$

Кстати, благодаря этому свойству легко доказать, что если ко всем решениям добавить пару $(0,0)$, то среднее значение всех чисел в парах решений равно $n$.