Непрерывность предела функциональной последовательности

[vedro-compota]

Доброго времени суток, уважаемые участники)

Нигде не могу найти доказательства теоремы о непрерывности предела функциональной последовательности- формулировка:

Цитата:

пусть имеется некоторая последовательность непрерывных на некотором числовом отрезке функций fn(x) -> f0(x) (последовательность равномерно сходится к f0(x) - доказать что функция f0(x) непрерывна на там же отрезке

Пожалуйста киньте ссылку на доказательство! Интернет буквально кишит билетами с подобным вопросом, но вменяемое доказательство найти не могу. в учебнике

Цитата:

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу.

это утверждение опять же предлагается доказать (а до него приводится несколько теорем о сумме ряда - в то время как по-идее сумму ряда следует рассматривать после теорем о самой функциональной последовательности)

Заранее благодарю за ответ)

[mihailm]

В Рудине Основы матана помню было

(Оффтоп)

Хотя это ж практически очевидно

[vedro-compota]

mihailm
спасибо) смотрю)

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

vedro-compota, замечание за неоформление формул $\TeX$ом

[SpBTimes]

Воспользуйтесь:
$|f_0(x_0) - f_0(x)| = |f_0(x_0) - f_n(x_0) + f_n(x_0) - f_n(x) + f_n(x) - f_0(x_0)| \leqslant |f_0(x_0) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f_n(x)| + | f_n(x) - f_0(x_0)|$

Осталось лишь добавить необходимые слова

[vedro-compota]

со словами всегда проблемы))
SpBTimes ,
спасибо за ёмкое выражение (примерно также док-во строится и в учебнике Рудина)
насколько я понимаю вы начинаете с записи условия существования предела для функции к $f_0(x)$ к которой сходится ф-я последовательность $f_n(x)$:
$|f_0(x_0) - f_0(x)| \leq \varepsilon $
где $f_0(x_0)$ - это как раз и есть значение предела. - то есть:
1) если мы докажем что предел существует - то докажем, что функция непрерывна, верно?

2) возникает вопрос - при переходе ко второй части равенства вы ставите знак равенства, фактически признав что $f_0(x)=f_0(x_0) $- ведь правая часть равенства таким образом обращается в ноль, это мммм..справедливо? или же это просто опечатка и на самом деле последний элемент должен быть $-f_0(x)$ ?

-- Чт июл 11, 2013 13:40:27 --

вообще там всё не так просто - нужно подобрать окрестность...ужас, короче.

[Otta]

vedro-compota

vedro-compota в сообщении #745088 писал(а):

насколько я понимаю вы начинаете с записи условия существования предела для функции к $f_0(x)$ к которой сходится ф-я последовательность $f_n(x)$:
$|f_0(x_0) - f_0(x)| \leq \varepsilon $
где $f_0(x_0)$ - это как раз и есть значение предела.

SpBTimes не пишет определений предела, он лишь демонстрирует, как удобно "разбить" неравенство из этого определения (определения непрерывности, если уж быть точным) для определений разных пределов: того, существование которого нужно показать, и тех, которые известны по условию теоремы.

vedro-compota в сообщении #745088 писал(а):

1) если мы докажем что предел существует - то докажем, что функция непрерывна, верно?

Верно. Выписывайте сразу определение непрерывности в точке, а не определение предела.

vedro-compota в сообщении #745088 писал(а):

или же это просто опечатка и на самом деле последний элемент должен быть $-f_0(x)$ ?

Опечатка. Да, последний элемент понятно какой.

vedro-compota в сообщении #745088 писал(а):

вообще там всё не так просто - нужно подобрать окрестность...ужас, короче.

Ничего ужасного. Выписываете все, что Вам дано и то, что нужно доказать. Там все видно сразу. Ну или почти сразу. Ну или еще подольше посмотрите. )) Это ж вопрос опыта.

На самом деле, все зависит от того, что Вам успели рассказать до этого. Если была теорема о перестановке пределов, то эта доказывается устно, как следствие.