Что такое кардинальное/ординальное число

[xmaister]

Пересмотрел введение в теорию множеств и не увидел формального определения кардинального и ординального числа. Собственно, вопрос: Как это хозяйство определить формально?

[angor6]

xmaister
Кардинальным числом называется символ, определяющий количество элементов бесконечного множества. См. также здесь: http://sekans.ru/718-kardinalnoe-chislo.html

Ординальное число - это порядковое число. См. также здесь: http://sekans.ru/1179-ordinalnoe-chislo.html и здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/Порядковое_число

Насчёт формальности хорошо сказано в книге Куратовского, Мостовского...

[arseniiv]

xmaister в сообщении #744835 писал(а):

Пересмотрел введение в теорию множеств и не увидел формального определения кардинального и ординального числа. Собственно, вопрос: Как это хозяйство определить формально?

Кардиналами, например, делают наименьшие ординалы соответствующей мощности, типа $\aleph_0 = \omega$ (но не знаю, что делают, если не принимают что-нибудь эквивалентное аксиоме выбора), а ординалы берут фон Неймана. Если использовать теорию, в которой есть классы, не вижу причин, чтобы определить кардиналы и ординалы как классы эквивалентности множеств. Надеюсь, правильно понял вопрос (кардинальное/ординальное число данного множества с уже определёнными кардиналами/ординалами ведь просто получить — взять равномощный/соответствующе упорядоченный ему).

[Someone]

Ординалы в любом случае можно определять по фон Нейману и рассматривать их как "продолжение" натурального ряда.

Мощности бесконечных вполне упорядоченных множеств называются алефами. Если есть аксиома выбора, то никаких других бесконечных кардиналов нет. Если аксиомы выбора нет, то, кроме алефов, появляются и другие кардиналы.

Вопрос о выборе, так сказать, "канонического" представителя данной мощности нетривиален. Алеф можно отождествлять с наименьшим ординалом соответствующей мощности. Если есть аксиома выбора, то проблема таким образом решается. Если же аксиомы выбора нет, то задача становится нетривиальной.

Кстати, даже если классов в теории нет, можно попытаться построить консервативное расширение языка теории, чтобы можно было говорить о классах. ZF такое расширение допускает. Тогда можно определить кардинал как класс равномощных множеств.

[arseniiv]

Someone в сообщении #744982 писал(а):

Если же аксиомы выбора нет, то задача становится нетривиальной.

А где можно посмотреть, как пытались определить эти остальные кардиналы и что из этого вышло?

[Someone]

Не знаю, никогда не встречал в литературе обсуждение этой проблемы. Думаю, что без аксиомы выбора эта задача вообще неразрешима. Без аксиомы выбора теория множеств становится уж очень нерегулярной.