точки на окружности

[bayak]

При каких значениях вещественного параметра $k$ комплекснозначная функция натурального аргумента $\exp (ik \ln n)$ принимает конечное (простое) число значений?

[arseniiv]

$k = 0$ устроит?

[bayak]

arseniiv в сообщении #744092 писал(а):

$k = 0$ устроит?

Устроит. А других значений нет?

[nnosipov]

bayak в сообщении #744098 писал(а):

А других значений нет?

Нет. Попробуйте это доказать.

[bayak]

nnosipov в сообщении #744121 писал(а):

bayak в сообщении #744098 писал(а):

А других значений нет?

Нет. Попробуйте это доказать.

А на что опираться (м.б., надо использовать иррациональность отношения $\frac{\ln m}{\ln n}$)?

И попутно ещё один вопрос. А что можно сказать о распределении всегда бесконечного (как выяснилось) множества точек окружности при различных значениях параметра $k$?

[Deggial]

bayak в сообщении #744285 писал(а):

А на что опираться (м.б., надо использовать иррациональность отношения $\frac{\ln m}{\ln n}$)?

Это очевидно, рассмотрите график $(\ln n)\bmod C$ для произвольного $C>0$ (например, возьмите $C=1$). Сам по себе логарифм роли не играет - вместо него можно взять любую возрастающую функцию $f(n)$ с производной, убывающей к нулю.

-- 08.07.2013, 10:45 --

Deggial в сообщении #744286 писал(а):

И попутно ещё один вопрос. А что можно сказать о распределении всегда бесконечного (как выяснилось) множества точек окружности при различных значениях параметра $k$?

Если Вы имеете ввиду распределение значений функции $\exp(ik\ln n)$, то, например, множество её значений всюду плотно, хотя неясно, это ли Вам нужно, свойств-то наверняка много (а если нет, то вопрос некорректен). Еще $(\ln n)\bmod 1$ не р.р.мод1.

[bayak]

Deggial, спаибо, про убывание производной я как-то не подумал.

-- Пн июл 08, 2013 08:55:25 --

Deggial в сообщении #744286 писал(а):

хотя неясно, это ли Вам нужно

меня интересует равномерность распределения.

-- Пн июл 08, 2013 08:57:30 --

Deggial в сообщении #744286 писал(а):

не р.р.мод1

расшифруйте, пожалуйста.

[Deggial]

bayak в сообщении #744290 писал(а):

меня интересует равномерность распределения.

В каком смысле понимается равномерность? Точек на окружности счётное число.

bayak в сообщении #744290 писал(а):

расшифруйте, пожалуйста.

Равномерное распределение по модулю 1.
Т.е. для $0\leq a<b\leq 1$ $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|\{\ln 1\bmod 1, ..., \ln n\bmod 1\}\cap[a,b]|}{n}\neq b-a$

[bayak]

Deggial в сообщении #744291 писал(а):

В каком смысле понимается равномерность?

В смысле р.р. мод.2. А где об этом можно почитать? Но если Вы ответите ещё на пару вопросов, то буду благодарен вдвойне. Что можно сказать о последовательности $k\ln n$ на предмет р.р.мод1? Какие есть характеристики у неравномерного распределения по модулю 1, например, как там определяется среднее значение?