А что это за операция...

[Slumber]

Пусть у нас есть две вероятностные меры $P$ и $P'$, пускай $\lambda = P+P'$ - доминирующая мера (я так понял, такая. чтобы всегда была плотность), и
$g = dP/d\lambda, \ g'=dP'/d\lambda$. - плотности относительно этой меры.

Что тогда такое $\int g \wedge g' d\lambda$, что мы еще и можем положить $P(Z=Z')=\int g \wedge g' d\lambda$, а $Q=(g \wedge g')d\lambda$ - "subprobability".

Потом, у меня есть процесс с вероятностями для j-го шага $p_i =P(Y_j=i)$, что тогда такое $\alpha_i = (p_i \wedge p_{i+1})/2$, которое тоже является вероятностью: $P((Y_j,Y'_j) =(i-1,i)) = P((Y_j,Y'_j) =(i,i-1)) =\alpha_{i-1}$ - две независимые копии процесса, это присвоение - так строят двумерный процесс.

Ну и как можно работать в дискретном случае с независимыми случайными величинами - перемножать их просто?

-- 08.07.2013, 16:34 --

Я сталкивался с плотностью относительно меры только один раз - в случае с условным математическим ожиданием относительно сигма-алгебры.
С одной стороны - это такая случайная величина, у которой матожидание равно матожиданию исходной случайной величины для всех множеств какой-то сигма-подалгебры, то есть я понял это как такое себе сужение случайной величины, определенной на бОльшей алгебре, неизмеримой относительно меньшей.
С другой стороны - оно и обладает свойствами матожидания.

А вот что вот это такое - зачем считаются эти плотности стр 18(в пдф 29) п5, стр 44(55) п14, итд. http://sci-prew.inf.ua/other/Torgny%20Lindvall%20-%20Lectures%20on%20the%20Coupling%20Method.pdf

Извиняюсь, что вопрос в результате стал шире, ну хотя бы что это за значок и как это считается.

[--mS--]

Slumber в сообщении #744415 писал(а):

Что тогда такое $\int g \wedge g' d\lambda$, что мы еще и можем положить $P(Z=Z')=\int g \wedge g' d\lambda$, а $Q=(g \wedge g')d\lambda$ - "subprobability".

См. стр.245 pdf-файла (список обозначений). Это обыкновенный минимум.

Slumber в сообщении #744415 писал(а):

Ну и как можно работать в дискретном случае с независимыми случайными величинами - перемножать их просто?

Вопрос не понятен.

Slumber в сообщении #744415 писал(а):

Я сталкивался с плотностью относительно меры только один раз - в случае с условным математическим ожиданием относительно сигма-алгебры.

Плотность - она всегда относительно какой-то меры. Хоть меры Лебега, хоть считающей, хоть вот такой - суммы каких-то мер. Плотность меры $\mu$ (всё на $\langle\mathbb R, \mathfrak B\rangle$) относительно меры $\lambda$ - это функция $f$ такая, что для всякого борелевского множества $B$

$$\mu(B)=\int\limits_B f(x)\lambda(dx).$$

Если таковая существует (т.е. если мера $\mu$ абсолютно непрерывна относительно меры $\lambda$ - см. хоть википедию). Плотность иначе называется производной Радона - Никодима $f=\frac{d\mu}{d\lambda}$. Вы должны были проходить это в курсе функционального анализа, или теории меры, или теории функций действительного переменного, если таковые были.

Так, для дискретного распределения $\mathsf P$, сосредоточенного на множестве $a_1,a_2,\ldots$, плотность существует относительно считающей меры $\#(B)=\sum_i I(a_i\in B)$. Плотностью будет функция $f$, равная $\mathsf P(a_i)$ в точках $a_i$ и нулю на остальной части прямой. Потому как

$$\mathsf P(B)=\sum\limits_{a_i\in B} P(a_i) = \int\limits_B f(x)\, \#(dx).$$

Если взять, например, два дискретных распределения с разными носителями, то ни одно из них не будет иметь плотность относительно другого. Но зато относительно меры, равной сумме этих вероятностных мер, оба распределения имеют плотность, т.е. абсолютно непрерывны. То же самое, например, для двух распределений, абсолютно непрерывных относительно лебеговой меры, но с разными "носителями". Скажем, пусть $P_1$ - равномерное распределение на отрезке $[0,\,2]$, $P_2$ - на отрезке $[1,\,4]$ (for fun). Тогда функция

$$f(x)=\begin{cases}1, & x\in [0,\,1],\cr \frac35, & x\in(1,\,2].\end{cases}$$

будет плотностью меры $P_1$ относительно $P_1+P_2$. Проверьте это по определению.

[Slumber]

Большое спасибо.
Про производную Радона-Никодима я знаю, только, я так понимаю, плотности для дискретного распределения не существует в смысле определения через абсолютную непрерывность, это как бы формальное определение через вероятности в точках. Или все правильно на самом деле?

А последнее выходит так
$1 = \int\limits_{[0,2]} dP_1 = \int\limits_{[0,2]}f(x) d(P_1+P_2) = \int\limits_{[0,1]}f(x) dP_1 + \int\limits_{(1,2]}f(x) d(P_1+P_2) = 1\cdot 1/2 + (1/2+1/3)\cdot (3/5)\cdot(2-1) =1$.

-- 08.07.2013, 18:39 --

В общем случае
$\forall A \in [0,2]: P_1(A) = 1\cdot P_1(A\cap [0,1]) +(3/5)\cdot (P_1+P_2)(A\cap (1,2]) = 1\cdot (1/2)\cdot \lambda(A\cap [0,1]) +(3/5)\cdot (1/2+1/3)\lambda(A\cap (1,2]) = 1\cdot (1/2)\cdot \lambda(A\cap [0,1]) + (3/5)\cdot (5/6)\lambda(A\cap (1,2]) =(1/2)\cdot \lambda(A\cap [0,1])+(1/2)\cdot \lambda(A\cap (1,2]) $
С другой стороны, $P_1(A) = (1/2)\cdot \lambda(A)$.
Понятно, все $mod \ \lambda$.

[--mS--]

Slumber в сообщении #744454 писал(а):

Про производную Радона-Никодима я знаю, только, я так понимаю, плотности для дискретного распределения не существует в смысле определения через абсолютную непрерывность, это как бы формальное определение через вероятности в точках. Или все правильно на самом деле?

Как не существует, а в сообщении выше - это что? Не плотность по считающей мере? Ещё раз: когда распределения делят на абсолютно непрерывные и прочие, и говорят, что дискретные распределения плотности не имеют, имеют в виду ровно одну абсолютную непрерывность: относительно меры Лебега. Относительно себя любое распределение абсолютно непрерывно. В т.ч. дискретное. Хоть по себе самому, хоть по соответствующей считающей мере.

Slumber в сообщении #744454 писал(а):

В общем случае
[math]$\forall A \in [0,2]$

$A \subseteq [0,\,2]$. И не любое оно, а борелевское. А прочее - так.

[Slumber]

Цитата:

огда распределения делят на абсолютно непрерывные и прочие, и говорят, что дискретные распределения плотности не имеют, имеют в виду ровно одну абсолютную непрерывность: относительно меры Лебега. Относительно себя любое распределение абсолютно непрерывно. В т.ч. дискретное. Хоть по себе самому, хоть по соответствующей считающей мере.

Большое спасибо!