неособое решение

[laptop]

добрый день.
дана задача:
$u_{t}+u^{2}u_{x}=0,$
$u(x,0)=\cos x.$

Решение, используя первые интегралы, можно выписать следующим образом:
$u(x,t)=\cos (x-u^{2}t).$

Но вот вопрос, в задании требуется найти максимальное значение $t$, такое что решение существует на всем полуинтервале $[0,t)$. Где здесь могут возникнуть какие-то особенности?

[Otta]

laptop в сообщении #743132 писал(а):

Решение, используя первые интегралы, можно выписать следующим образом:
$u(x,t)=\cos (x-\underline{u}^{2}t).$

$u$ - это Вам не константа. Это решение, которое нужно найти. То, что Вы нашли, решением не является.

[laptop]

Otta в сообщении #743312 писал(а):

laptop в сообщении #743132 писал(а):

$u$ - это Вам не константа. Это решение, которое нужно найти. То, что Вы нашли, решением не является.

Эм. вы когда-нибудь пользовались методом первых интегралов? это просто неявно заданная поверхность

[Otta]

laptop в сообщении #743424 писал(а):

Эм. вы когда-нибудь пользовались методом первых интегралов? это просто неявно заданная поверхность

Спасибо за пояснения. Я буду знать.
Я думала, Вы его приняли за линейное, но это я в знаке ошиблась. Возражение снимается.

[Nemiroff]

Otta в сообщении #743426 писал(а):

А Вы когда-нибудь считали производную неявно заданной функции? Подставьте и проверьте.

Пусть $u=u(x(s),t(s))$, $\dfrac{du}{ds}=u_x\dfrac{dx}{ds}+u_t\dfrac{dt}{ds}$. Тогда, если верно что $\dfrac{dt}{ds}=1, \dfrac{dx}{ds}=u^2$, то верно $\dfrac{du}{ds}=0$. Беря $t$ вместо $s$ получаем $\dfrac{d}{dt}u(x(t),t)=u^2u_x+u_t=0$.
Далее, в точке $x_0$ мы знаем начальное условие $u(x_0,0)=\cos x_0$
Получаем на характеристике через $x_0$ (кажется, они так называются, забыл уже, извините, если что не так) $x'(t)=\cos^2 x_0$. То бишь, $x(t)=x_0+\cos^2 x_0 t$. Так как решение на этой самой характеристике не меняется, получаем $u^2=\cos^2 x_0 = \cos^2 (x-u^2t)$. Вот и получаем $u=\cos(x-u^2t)$.

[Otta]

Nemiroff

(Оффтоп)

)) Ну Вы уверены, что после того, как человек увидел и сказал, что он ошибся, ему нужно рассказывать, что он ошибся? Но спасибо, я Вас всегда с удовольствием читаю.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #743429 писал(а):

Ну Вы уверены, что после того, как человек увидел и сказал, что он ошибся, ему нужно рассказывать, что он ошибся?

М-м-м, прошу прощения, пока писал, не заметил, что вы уже сменили пост.
Надо вот добавлять, а не переписывать.
После того, как уже отправил увидел, но решил, что пусть будет, зря набирал что ли.

[Otta]

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #743431 писал(а):

Надо вот добавлять, а не переписывать.

Если добавляешь раньше, чем отправлен пост собеседника, то эффект тот же. А потом, форум мне говорит всегда почему-то, что тут никого нет. :)

Вроде $[0,1)$ всегда сгодится. Или у меня опять глюки?

Зря набирал - это я понимаю.))

[Nemiroff]

Otta в сообщении #743432 писал(а):

Вроде $[0,1)$ всегда сгодится. Или у меня опять глюки?

Похоже на то - единица вроде бы даже максимум тех $t$, на которых все те прямые не пересекаются.

[Otta]

Да, так и есть.

[laptop]

Nemiroff в сообщении #743436 писал(а):

Otta в сообщении #743432 писал(а):

Вроде $[0,1)$ всегда сгодится. Или у меня опять глюки?

Похоже на то - единица вроде бы даже максимум тех $t$, на которых все те прямые не пересекаются.

мм. а что это за ТЕ прямые? и как был сделан вывод про $[0,1)$?

[Nemiroff]

У приличных уравнений характеристики (вдоль которых решения постоянны) не пересекаются. А тут - вполне могут. Прямые $x(t)=x_0+\cos^2 x_0 t$ для разных $x_0$ могут пересекаться. Приличное решение есть только, когда они не пересекаются. Вот и надо найти такое наибольшее положительное $t$, чтоб до него они не пересекались. Единичка, по всей видимости.

[Otta]

А иначе, грит теория УрЧП, попрет неоднозначность. А попрет она за счет простого эффекта - у Вашей неявно заданной функции нарушится условие однозначной разрешимости относительно $u$. Так что можно решать задачу двумя способами, для самоконтроля.

[laptop]

Наверное можно было еще и так.

$u(x,t)=\cos (x-u^{2} t)$- неявное решение. Применим теорему о неявной функции, вычислим производную выражения $u(x,t)-\cos (x-u^{2} t)=0$ по переменной $u$:

$1+\sin (x-u^{2}t)\cdot (-2t u)=0.$

Тогда $t=\frac{1}{2\sin (x-u^{2}t)\cos (x-u^{2}t)}=\frac{1}{\sin (2x_{0})}$,
минимум которого равен единице.

[Otta]

Это собственно и есть проверка выполнения (вернее, нарушения) условия однозначной разрешимости относительно $u$.