Получить параметрическое уравнение дуги параболы

[czw]

Задачка из книги Д. Роджерса и Дж. Адамса "Мат. основы маш. графики".

Необходимо вывести вот такое уравнение дуги параболы:

x(t) = (Qx - 2Rx + Px)t^2 + 2(Rx - Px)t + Px,
y(t) = (Qy - 2Ry + Py)t^2 + 2(Ry - Py)t + Py,
0 <= t <= 1.

P = [Px, Py] и Q = [Qx Qy] - это конечные точки на кривой, а R = [Rx Ry] - это точка пересечения касательных в точках P,Q.

Рисунок:


Я не прошу вывести мне это уравнение, просто, пожалуйста, подскажите откуда начать. Ума не приложу. Может у кого есть какие-то идеи?

[незваный гость]

Начать можно в лоб: Пишете параметрическое уравнение параболы: $x(t) = a_x t^2 + 2 b_x t + c_x$, $y(t) = a_y t^2 + 2 b_y t + c_y$. Дальше — по шагам: (1) $x(0),y(0)) = (P_x,P_y)$, Находим $c_x, c_y$; (2) $x(1),y(1)) = (Q_x,Q_y)$, выражаем $a_x,a_y$, через $b_x, b_y$; (3) $(R_x, R_y)$ — точка пересечения касательных, значит она лежит на каждой из касательных. Выписываем уравнение касательной при $t= 0$, $t = 1$, и решаем получившуюся систему уравнения.

[czw]

Незванный гость, спасибо большое!

Из первого получаем:
c_x = P_x, c_y = P_y

Из второго получаем:
a_x = Q_x - P_x - 2b_x
a_y = Q_y - P_y - 2b_y

Уравнение параболы можно записать так:

x(t) = (Q_x - P_x - 2b_x)t^2 + 2b_x t + P_x
y(t) = (Q_y - P_y - 2b_y)t^2 + 2b_y t + P_y

Уравнения касательных:

в т. P (t=0):
$ \left\{ \begin{array}{l} x(t_1) = P_x + (R_x - P_x)t_1,\\ y(t_1) = P_y + (R_y - P_y)t_1, \end{array} \right. $

в т. Q (t=1):
$ \left\{ \begin{array}{l} x(t_2) = Q_x + (R_x - Q_x)t_2,\\ y(t_2) = Q_y + (R_y - Q_y)t_2. \end{array} \right. $

Я не понимаю какую надо систему решить, чтобы вычислить b_x.
Или я беру неправильное уравнение касательных? Пробовал другие уравнения прямых через две точки или брать производную от уравнения параболы. Не выходит

[незваный гость]

czw писал(а):

Уравнения касательных:

Вы написали не уравнения касательных, а уравнения прямых, проходящих через точки $(P,R)$ и $(Q,R)$ соответственно. Отсюда Ваши проблемы.

[czw]

Спасибо, большое! Все получилось!