a^x=x

[Dave]

Докажите, при любом натуральном $a \not\vdots \; 10$ уравнение $a^x=x$ имеет единственное решение в целых 10-адических числах.

[Руст]

Глупое утверждение. Справедливо только для $a=1$.
При $a\ge 2$ всегда $a^x\ge 2^x>x.$

[Dave]

Руст, прежде, чем портить тему такими замечаниями, хотя бы разобрались, что такое 10-адические числа.

[Dave]

Эта статья в "Кванте" - хорошая отправная точка для всех желающих ознакомиться с 10-адическими числами и приступить к решению данной задачи.
Кстати, другие системы счисления также не стоит сбрасывать со счетов. Хорошо ведёт себя 6-ичная. А особенно приятно иметь дело с двоичной

[ИСН]

Да ну её! В двоичной нет автоморфных чисел.

[Null]

Что значит $a^x$? Оно определено?
Хотя $10^2\vdots\phi(10)$

[Dave]

Определение. Пусть $a$ и $d \geqslant 2$ - натуральные числа, $x=\dots x_i \dots x_2 x_1 x_0$ - $d$-адическое число, где числа $x_i \in \mathbb Z$, $0 \leqslant x_i < d$ - его цифры, также $x$ записывается в виде формального ряда $x=\sum\limits_{i=0}^{\infty} x_i d^i$.
Если существует $d$-адическое число $y=\dots y_i \dots y_2 y_1 y_0$ такое, что

$$\forall m \in \mathbb N \quad \exists n_0=n_0(a,x,d,m) \in \mathbb N \quad \forall n>n_0 \quad a^{x|_n}|_m=y|_m,$$

то $a^x$ полагается равным $y$. Здесь операция $|_n$ означает взятие младших $n$ цифр соответствующего $d$-адического числа и образование ими обычного целого числа, т.е. $x|_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1} x_i d^i$.
Если же $y$ с вышеуказанным свойством не существует, то степень $a^x$ не определена.

Нетрудно видеть, что двух различных $y$ такого вида быть не может, так что определение корректно. Что оно даёт в конкретных случаях? Обозначим для любого натурального $n$ через $\Game(n)$ множество его простых делителей.
1) Если среди цифр $x_i$ конечное число ненулевых, то $a^x$ совпадает с обычным возведением натурального числа в неотрицательную целую степень, представленным, опять же, в виде $d$-адического числа с конечным числом ненулевых цифр.
2) Если среди цифр $x_i$ бесконечное число ненулевых и $\Game(a) \supseteq \Game(d)$, то $a^x$ равно нулю.
3) Если среди цифр $x_i$ бесконечное число ненулевых и $\Game(a) \nsupseteq \Game(d)$, то $a^x$ определено не всегда.
Тем не менее, можно показать, что если основание системы счисления $d$ таково, что

$$\Game\left(\prod\limits_{p \in \Game(d)} (p-1)\right) \subseteq \Game(d),$$

то вышеуказанное $d$-адическое число $y$ для любого $a \in \mathbb N$ и любого $d$-адического числа $x$ всегда существует, что соответственно и определяет $a^x$. В частности, это верно для всех перечисленных мной выше систем ($d=2, 6, 10$).