Пока формулирую гипотезу - про оптимальный набор множителей

[ananova]

Хотел бы узнать у профессионалов ответ на следующий вопрос. Сформулирую его, как гипотезу, т.к. доказать не могу.

Если справедливо:

$$w^3 \equiv 1 \mod x^3$$

$$abc \equiv 1 \mod x^3$$

то

$$abc>w^3$$

Последнее неравенство в поле целых положительных чисел.

[ИСН]

Пока что с формулировкой проблемы. Кто такие a, b, c? Тоже целые числа? Разные? Совсем?

-- менее минуты назад --

Тогда пусть, например, $w=9,\;a=3,\,b=9,\,c=27$.

[Sonic86]

Неверно при $a=b=c=w$.

ИСН в сообщении #743506 писал(а):

Пока что с формулировкой проблемы. Кто такие a, b, c? Тоже целые числа? Разные? Совсем?

Давайте воспользуемся правилом $\operatorname{Gen}$ : $(\forall a)(\forall b)(\forall c)(\forall w)(\forall x)$

[ananova]

ИСН в сообщении #743506 писал(а):

Пока что с формулировкой проблемы. Кто такие a, b, c? Тоже целые числа? Разные? Совсем?

-- менее минуты назад --

Тогда пусть, например, $w=9,\;a=3,\,b=9,\,c=27$.

Спасибо, сейчас уточню.

Пусть $ x=7, w=18$

$a, b, c$ - допустим любые целые числа не равные друг другу. Они же (целые числа) являются вычетами в поле $x^3$

[Sonic86]

ananova в сообщении #743514 писал(а):

Пусть $ x=7, w=18$

$a, b, c$ - допустим любые целые числа не равные друг другу.

$abc=7^3+1=344=2^3\cdot 43$, $a:=2, b:=4, c:= 43$.

И ваабще: $abc=y$

[ananova]

Sonic86 в сообщении #743515 писал(а):

ananova в сообщении #743514 писал(а):

Пусть $ x=7, w=18$

$a, b, c$ - допустим любые целые числа не равные друг другу.

$abc=7^3+1=344=2^3\cdot 43$, $a:=2, b:=4, c:= 43$.

И ваабще: $abc=y$

Спасибо. Проглядел элементарное решение:
$abc < w^3$

Извините за назойливость. Мой (более сложный вариант) изначально был таким:

$$a(w-1)(w+1) \equiv 1 \mod x^3$$

$$ w^3 \equiv 1 \mod x^3$$

Всегда ли

$$a > w$$

Просто заменил $(w-1)$ на $b$, а $(w+1)$ на $c$.

[Sonic86]

Вот как бы из сравнений $\equiv$ извлечь информацию вида $\leqslant$ при непостоянных аргументах почти невозможно, разве что исключить конечное число точек.
Вот давайте обозначим $abc=y$, потом вернемся к ним. Получим формулировку вида:
$w^3\equiv 1\pmod {x^3}, y\equiv 1\pmod {x^3} \Rightarrow y\geqslant w^3$
Давайте представим, как это выглядит. Допустимых значений $w^3$ бесконечно много как влево, так и вправо. Допустимых значений $y$ также бесконечно много влево и вправо, хотя их несколько меньше. Так с чего вдруг $y\geqslant w^3$? Ведь если $(y,w)$ удовлетворяют сравнениям, то $(\forall k) (y,w-kx^3)$ удовлетворяют сравнениям.
Остается лишь ограничение $y=abc, a\neq b\neq c\neq a$. - это просто все непростые числа (а если я еще и знаки учту, то вообще...). Это же очень слабое ограничение - непростых чисел, удовлетворяющих сравнению все равно останется бесконечно много, мера простых чисел - нуль в $\mathbb{Z}$.

upd: блин, мой текст теперь неактуален, предыдущий пост был поправлен.

-- Пт июл 05, 2013 08:07:32 --

ananova в сообщении #743518 писал(а):

Просто заменил $(w-1)$ на $b$, а $(w+1)$ на $c$.

а вот это уже другое дело...

-- Пт июл 05, 2013 08:10:49 --

ananova в сообщении #743518 писал(а):

Извините за назойливость. Мой (более сложный вариант) изначально был таким:

$$a(w-1)(w+1) \equiv 1 \mod x^3$$

$$ w^3 \equiv 1 \mod x^3$$

Всегда ли

$$a > w$$

Здесь такая же ошибка просто в силу того, что $a,w$ лежат в классах вычетов. Попробуйте найти ошибку сами аналогичными рассуждениями.

[ananova]

-- Пт июл 05, 2013 11:16:38 --

Sonic86 в сообщении #743522 писал(а):

Ошибка находится аналогично, просто в силу того, что $a,w$ лежат в классах вычетов. Попробуйте найти ошибку сами аналогичными рассуждениями.

В моей задаче $w$ - наименьшее целое число, для которого справедливо поставленное условие.
Хорошо, попробую найти ошибку.

[Sonic86]

ananova в сообщении #743526 писал(а):

В моей задаче $w$ - наименьшее целое число, для которого справедливо поставленное условие.

Хорошо, но этого тоже недостаточно, поскольку $a$ по-прежнему может быть как сколь угодно большим, так и сколь угодно малым.

[ananova]

Sonic86 в сообщении #743529 писал(а):

ananova в сообщении #743526 писал(а):

В моей задаче $w$ - наименьшее целое число, для которого справедливо поставленное условие.

Хорошо, но этого тоже недостаточно, поскольку $a$ по-прежнему может быть как сколь угодно большим, так и сколь угодно малым.

Может тест на простоту создать? Надо будет проверить - почему бы для простых чисел всегда $a > w$. Конечно, глупо проверять на примерах, т.к. есть теория, но для $x = 7, 13$ условие выполняется. Однако, может выполняться это условие не только для простых чисел, а просто для нечетных и тогда тест не будет работать.

[ananova]

$$a(w+1)(w-1) -1 \equiv w^3-1 \pmod x^3$$

Если $a=w$, то:

$$w^3-w -1 < w^3-1$$

Т.к. $x^3>w$ $\Rightarrow a > w$.

Но это, как частный случай. Попробую еще другие варианты проверить, чтобы получить вариант $a<w$

$$aw^2-a-1=kx^3$$

$$a= \frac {kx^3+1} {(w+1)(w-1)}$$

[ИСН]

Тут Sonic86 сказал кое-что насчёт того, что неравенства и сравнения не сочетаются; это слишком много букв или слишком мало? Если у Вас во рту одновременно оказались молоко и селёдка, Вы что-то делаете не так.

[ananova]

Так или иначе - молоко и селедка существуют и приходится с ними что-то делать. А в общем, Вы правы - доказать что $a$ может быть меньше $w$, при заданных условиях, это вариант селедки с молоком во рту.

[Sonic86]

ananova в сообщении #743535 писал(а):

Может тест на простоту создать?

Вряд ли.

ananova в сообщении #743588 писал(а):

$$a(w+1)(w-1) -1 \equiv w^3-1 \pmod x^3$$

Если $a=w$, то:

$$w^3-w -1 < w^3-1$$

Непонятно, зачем это, но это доказывается гораздо проще: так как

ananova в сообщении #743526 писал(а):

$w$ - наименьшее целое число, для которого справедливо поставленное условие.

(здесь имеется ввиду наименьшее неотрицательное целое число). То

ananova в сообщении #743588 писал(а):

$$w^3-w -1 < w^3-1$$

[ananova]

Я понял так и остановился на следующей формулировке:
При следующих справедливых сравнениях:

$$a(w-1)(w+1) \equiv 1 \mod x^3$$

$$ w^3 \equiv 1 \mod x^3$$

где $w$ - наименьшее целое неотрицательное число, для которого справедливо поставленное условие.
всегда справедливо: $a > w$

Доказательство.
Т.к. $w$ - наименьшее целое неотрицательное число, для которого справедливо поставленное условие, то

$$w(w-1)(w+1) < w^3-1$$

$$a > w$$

.

Иными словами, - для целых неотрицательных чисел, если $w^3-1=nx^3$, то для $a<w$ не будет выполняться равенство $a(w^2-1)=kx^3$, где $k<n$.