2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Замкнутое непустое множество
Сообщение02.07.2013, 18:25 
Дано замкнутое непустое множество - подмножество R. Известно, что множество его внутренних точек пусто. Следует ли из этого, что это множество конечно или счетно?

 
 
 
 Re: Замкнутое непустое множество
Сообщение02.07.2013, 18:38 
Нет

 
 
 
 Re: Замкнутое непустое множество
Сообщение02.07.2013, 19:35 
А подскажите, пожалуйста, в какой стороне контрпример искать?

 
 
 
 Re: Замкнутое непустое множество
Сообщение02.07.2013, 20:08 
Давайте так. Какие вы вообще знаете необычные, экстраординарные множества на $\mathbb R$? Вспомните разные примеры из учебников. А потом посмотрите, может быть какое-нибудь из них удовлетворяет вашим условиям.

 
 
 
 Re: Замкнутое непустое множество
Сообщение02.07.2013, 20:18 
Аватара пользователя
AlexeyS
поспрашивайте у Кантора, если уже можно :)

 
 
 
 Re: Замкнутое непустое множество
Сообщение02.07.2013, 21:05 
lena7 в сообщении #742648 писал(а):
Давайте так. Какие вы вообще знаете необычные, экстраординарные множества на $\mathbb R$? Вспомните разные примеры из учебников. А потом посмотрите, может быть какое-нибудь из них удовлетворяет вашим условиям.


мне в голову приходило множество иррациональных чисел, но оно не замкнуто

SpBTimes в сообщении #742650 писал(а):
поспрашивайте у Кантора, если уже можно :)


Вы имеете в виду канторово множество? Я с ним очень плохо знаком. А есть ли какие-нибудь другие примеры попроще?

 
 
 
 Re: Замкнутое непустое множество
Сообщение02.07.2013, 21:10 
Аватара пользователя
AlexeyS в сообщении #742670 писал(а):
Вы имеете в виду канторово множество?

Именно.
Попроще - не знаю, надо думать.

 
 
 
 Re: Замкнутое непустое множество
Сообщение02.07.2013, 21:11 
AlexeyS в сообщении #742670 писал(а):
Я с ним очень плохо знаком.

Полезно познакомится. Пригодится.

 
 
 
 Re: Замкнутое непустое множество
Сообщение02.07.2013, 21:14 
проще нельзя, так как есть теорема о структуре несчетного замкнутого подмножества числовой прямой

 
 
 
 Re: Замкнутое непустое множество
Сообщение02.07.2013, 21:33 
Аватара пользователя
AlexeyS в сообщении #742670 писал(а):
Вы имеете в виду канторово множество? Я с ним очень плохо знаком. А есть ли какие-нибудь другие примеры попроще?
Попроще не бывает. Собственно, каждое непустое замкнутое подмножество числовой прямой, не имеющее изолированных точек, содержит канторово совершенное множество. Отсюда следует, в частности, что любое непустое замкнутое подмножество числовой прямой, имеющее мощность меньше континуума, содержит изолированную точку.

P.S. Числовая прямая тут, собственно, не обязательна. Годится любой метризуемый компакт.

 
 
 
 Re: Замкнутое непустое множество
Сообщение02.07.2013, 21:46 
Ладно, спасибо! Буду изучать

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group