Замкнутое непустое множество

[AlexeyS]

Дано замкнутое непустое множество - подмножество R. Известно, что множество его внутренних точек пусто. Следует ли из этого, что это множество конечно или счетно?

[lena7]

Нет

[AlexeyS]

А подскажите, пожалуйста, в какой стороне контрпример искать?

[lena7]

Давайте так. Какие вы вообще знаете необычные, экстраординарные множества на $\mathbb R$? Вспомните разные примеры из учебников. А потом посмотрите, может быть какое-нибудь из них удовлетворяет вашим условиям.

[SpBTimes]

AlexeyS
поспрашивайте у Кантора, если уже можно :)

[AlexeyS]

lena7 в сообщении #742648 писал(а):

Давайте так. Какие вы вообще знаете необычные, экстраординарные множества на $\mathbb R$? Вспомните разные примеры из учебников. А потом посмотрите, может быть какое-нибудь из них удовлетворяет вашим условиям.

мне в голову приходило множество иррациональных чисел, но оно не замкнуто

SpBTimes в сообщении #742650 писал(а):

поспрашивайте у Кантора, если уже можно :)

Вы имеете в виду канторово множество? Я с ним очень плохо знаком. А есть ли какие-нибудь другие примеры попроще?

[SpBTimes]

AlexeyS в сообщении #742670 писал(а):

Вы имеете в виду канторово множество?

Именно.
Попроще - не знаю, надо думать.

[lena7]

AlexeyS в сообщении #742670 писал(а):

Я с ним очень плохо знаком.

Полезно познакомится. Пригодится.

[mihailm]

проще нельзя, так как есть теорема о структуре несчетного замкнутого подмножества числовой прямой

[Someone]

AlexeyS в сообщении #742670 писал(а):

Вы имеете в виду канторово множество? Я с ним очень плохо знаком. А есть ли какие-нибудь другие примеры попроще?

Попроще не бывает. Собственно, каждое непустое замкнутое подмножество числовой прямой, не имеющее изолированных точек, содержит канторово совершенное множество. Отсюда следует, в частности, что любое непустое замкнутое подмножество числовой прямой, имеющее мощность меньше континуума, содержит изолированную точку.

P.S. Числовая прямая тут, собственно, не обязательна. Годится любой метризуемый компакт.

[AlexeyS]

Ладно, спасибо! Буду изучать