оценить предел

[max.uspex]

\lim_{n \to \infty}$\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k+n}$

как найти предел такого ряда?

Сначала мне показалось, что я смог найти и получил верный ответ $\ln(2)$ не заметив знакопеременность в
разложении $\ln(1+1)=1 - \frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ + ....
Ляпнул, что искомый ряд - подпоследовательность разложения логарифма, и т.к. они сходятся, то сказал, что предел $\ln(2).$

Но потом заметил знакопеременность, и теперь не знаю, как решить.

Deggial: формулы поправил

[Otta]

Интегральная сумма.

[Ms-dos4]

Можно ещё проще, без интегральных сумм. Легко заметить, что
$\[\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k + n}}} = {S_{2n}} - {S_n}\] $, где
$\[{S_n}\]$ - суммы гармонического ряда из n членов

Известно, что $\[{S_n} = \ln n + \gamma + {\varepsilon _n}\]$, причём $\[{\varepsilon _n} \to 0\]$ при $\[n \to \infty \]$. Тогда

$\[{S_{2n}} - {S_n} = \ln 2 + ({\varepsilon _{2n}} - {\varepsilon _n})\]$

$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } [{S_{2n}} - {S_n}] = \ln 2\]$

$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k + n}}} = \ln 2\]$

[Otta]

(Оффтоп)

Ни фигасе проще. Интегральные суммы - программа-минимум, а асимптотика гармонических чисел - отнюдь нет.

[Ms-dos4]

(Оффтоп)

Otta
У нас её давали в 2-ом семестре(собственно как и интегральные суммы конечно). Правда вот уже не помню, оценивали ли $\[{\varepsilon _n}\]$, но из "Конкретной математики" помню, что как-то выражается через числа Бернулли.
У нас вообще ряды хорошо "давали", ибо для физика ряды имеют чуть ли не первостепенную важность, как кстати и асимптотики.

[Otta]

(Оффтоп)

Числа Бернулли, так и есть.
У нас сейчас даже математикам перестали давать, увы. Что уж о физиках.

[max.uspex]

Ms-dos4, спасибо.

т.к. я изучаю это сам, то можно немного поподробнее как тут применить интегральную сумму. Что это такое я знаю. Если я правильно понимаю, то есть некоторая гипербола, и например, для ряда с n=2 есть сумма площадей 2-х прямоугольников: $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$, где размеры прямоугольников 1x1/2 и 1x1/3. Я взял интеграл от 1 до бесконечности от функции 1/(1+n), но очевидно у меня получилась бесконечность.

[SpBTimes]

$\lim\limits_{n \to \infty} \sum \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$
А теперь внимательно посмотрите на вид интегральной суммы. И как? Где тут длина интервала, а где функция, в которую подставляется какая-то промежуточная точка?

[max.uspex]

спасибо большое, сделал!

[sup]

Забавно, но данная сумма легко сводится к той самой, знакопеременной.
Лень выписывать "в буквах", поэтому покажу просто на примере. Идея такая: у дробей с четным знаменателем меняем знак.
$\frac {1}{10}+\frac {1}{11} +\frac {1}{12} +\frac {1}{13}+ \dots +\frac {1}{18}=-\frac {1}{10}+\frac {1}{11} -\frac {1}{12} +\dots - \frac {1}{18} + \frac {2}{10} + \frac {2}{12} + \dots + \frac {2}{18}$
Значит
$\frac {1}{10}+\frac {1}{11} +\frac {1}{12} +\frac {1}{13}+ \dots + \frac {1}{18}=\frac {1}{5} + \frac {1}{6} + \frac {1}{7 } + \frac {1}{8} + \frac {1}{9 } -\frac {1}{10}+\frac {1}{11} -\frac {1}{12} +\dots - \frac {1}{18} $
И дальше аналогично. В конце концов получится в точности ряд Лейбница.
Очевидно, что это тождество легко доказать по индукции.

[Deggial]

max.uspex в сообщении #742671 писал(а):

размеры прямоугольников 1x1/2 и 1x1/3. Я взял интеграл от 1 до бесконечности от функции 1/(1+n)

max.uspex, замечание за неоформление формул.

[ewert]

Ms-dos4 в сообщении #742645 писал(а):

уже не помню, оценивали ли $\[{\varepsilon _n}\]$, но из "Конкретной математики" помню, что как-то выражается через числа Бернулли.

Если речь именно об оценке, а не об асимптотике поправки, то никаких бернуллиев не нужно, всё банально:

$$\sum\limits_{k=1}^n\frac1k=\int\limits_1^{n+1}\frac{dx}x+\sum\limits_{k=1}^n\int\limits_k^{k+1}\left(\frac1k-\frac1x\right)dx=\ln(n+1)+\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac1k-\ln\frac{k+1}k\right)=\ln n+C+O(n^{-1}),$$

где $C\equiv\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac1k-\ln\frac{k+1}k\right)$. Однако проделывать подобные вещи, разумеется, имеет смысл только уже после дрессировки на интегральных суммах, т.к. именно интегральные суммы тут и заложены, пусть и в неявном виде.