Для непрерывных несложно доказывается, а борелевские получаются из непрерывных предельными переходами (в трансфинитном числе). В евклидовом пространстве (и в более общих, точное ограничение не помню) борелевские функцию совпадают с бэровскими функциями
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/604/.
Пусть

, где для бэровских функций

измеримость по Лебегу функции

уже доказана, тогда

тоже измерима по Лебегу. Отсюда по трасфинитной индукции следует, что

измерима по Лебегу для любой бэровской функции

.