Все мероморфные функции

[Chernoknizhnik]

Вот есть у нас расширенная комплексная плоскость. А нужны все мероморфные на ней функции. Утверждается, что все они рациональны, т.е. вида $\frac{P(z)}{Q(z)}$, где $P$, $Q$ - полиномы. Как же это доказать?

Кажется, должно быть как-то так:
Ну пусть $f$ мероморфна на $\mathbb{C}P^1$, а $z_1,z_2,...z_m$ - все конечные полюсы $f$ кратностей $k_1,...k_m$ соответственно. Помножим $f$ на полином с корнями $\{z_i\}$ с соответствующими кратностями. Легко понять, что получится голоморфная на $\mathbb{C}$ функция. Докажем, что получится полином. Действительно,...

Как завершить?
Да и почему полюсов то конечное число будет? Какие есть ограничения на количество полюсов и нулей?

А если функция мероморфна лишь на нерасширенной плоскости? Что-нибудь хорошее можно о ней сказать? (наверное нельзя, ведь так? $\frac{1}{\sin(z)}$ разве чем то выдающимся хороша?)

[ewert]

Chernoknizhnik в сообщении #742118 писал(а):

Да и почему полюсов то конечное число будет? Какие есть ограничения на количество полюсов и нулей?

Иначе бесконечность -- существенно особая точка.

[Otta]

Chernoknizhnik в сообщении #742118 писал(а):

Да и почему полюсов то конечное число будет?

Иначе бесконечность - неизолированная особая точка.

[Chernoknizhnik]

Хорошо, спасибо.
Но почему же полином то получится?

[ewert]

По теореме Лиувилля.