ортогональные векторы

[bioinformatic]

как доказать что число ненулевых ортогональных векторов в $N$-мерном пространстве равно $N$?

[Otta]

1) Доказать, что любые $N$ ненулевых ортогональных векторов - линейно независимы (и значит, образуют базис).
2) Доказать, что любой вектор, ортогональный каждому из этих $N$ векторов, нулевой.

[iifat]

У вас пропущено, как понимаю, доказательство того, что в $N$-мерном пространстве можно насобирать $N$ попарно ортогональных векторов.
Я б начал с доказательства возможности ортогонализации любого базиса. Это доказывает, что любое количество ортогональных векторов, меньшее $N$, можно достроить до $N$. А потом уж ваших два пункта.

[Otta]

iifat в сообщении #742024 писал(а):

с доказательства возможности ортогонализации любого базиса

Ну, можно и без. Вполне возможно показать, что существуют $N$ ортогональных векторов.

[svv]

Подход ewertа. Ссылаемся на теорему "Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис" (напр., Ильин-Позняк). А учебное задание — не место для доказательства основных теорем, это место для их применения.

[ewert]

svv в сообщении #742071 писал(а):

Подход ewertа. Ссылаемся на теорему "Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис"

Не ссылаемся: это утверждение -- формально более сильное, чем запрашивалось в стартовом посте (там ничего не говорилось про линейную независимость).

Для доказательства только существования ортогонального набора линейная независимость никак не нужна (хотя сама по себе она и святое, причём тривиально святое). Существование же сводится к утверждению: любой набор из менее чем $N$ ортогональных элементов не является максимальным. Последнее же верно просто потому, что дополнительный к ним ортогональный элемент строится конструктивно -- как $\vec e_{m+1}=\vec f-\sum\limits_{k=1}^m\dfrac{(\vec f,\vec e_k)}{\|\vec e_k\|^2}\,\vec e_k$, где $\vec f$ -- любой вектор, не входящий в линейную оболочку предыдущих $\vec e_k$. После чего уже автоматически выписывается процедура Грама-Шмидта, но именно после -- именно в таком порядке.