" i " - радикальный выход из положения :)

[Alex_J]

Цитата:

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна.

Морис Клэйн

Это как эпиграф.

Напишем $\frac 1 2$ как бесконечную сумму:

$$\frac 1 2=\frac 1 3+\frac 1 9+\frac 1 {27}+...$$

Тогда ("не зная" комплексных чисел, берём только действительное значение)

$$i=(-1)^\frac 1 3(-1)^\frac 1 9(-1)^\frac 1 {27}...=(-1)(-1)(-1)...$$

Знак результата не определён. И это мы называем мнимой единицей. Значит, мнимая единица - это не определившаяся со знаком единица действительная.

В жизни так бывает: в случае трудного выбора между правым и левым, в привычной плоскости, ответ находится неожиданный - в новой размерности, вертикально вверх. Чем ближе присматриваешься к корню проблемы, тем очевиднее, что двигаться нужно в радикально иную сторону, которая раньше была не видна/не нужна.

И тогда действительно "побочная" или "вертикальная" единица.

(Оффтоп)

Даже всем известный мифологический осёл направился вертикально вверх, померев от голода.

-- 29.06.2013, 00:30 --

Вариант:

$$(-1)^{\sum_{n=1..\infty}{\frac{1}{3^n}}}=\prod_{n=1..\infty}{e^{\frac{(2k_n+1)i\pi}{3^n}}}=e^{\sum_{n=1..\infty}{\frac{(2k_n+1)i\pi}{3^n}}}$$

$k_n=1..n$.
Показатель степени равен $\frac{\pi i}{2}+2\pi i\sum_{n=1..\infty}{\frac{k_n}{3^n}}$. Первое слагаемое как раз даёт "вертикаль", а второе принимает значения $\pi i$ ($k_n=1$) и $\frac 3 2 \pi i$ ($k_n=n$). Остальные случаи подлежат исследованиям.

[longstreet]

Alex_J в сообщении #741449 писал(а):

Знак результата не определён. И это мы называем мнимой единицей.

Это новое слово в математике.

-- 28.06.2013, 23:58 --

Alex_J в сообщении #741449 писал(а):

"не зная" комплексных чисел

кавычки тут, судя по всему, не нужны.

[warlock66613]

А теперь возведём $i=(-1)(-1)(-1)...$ в квадрат. Получим $-1=1$. Далее отсюда легко выводится ряд замечательных результатов. Именно, можно доказать, что $2>3$, что $2 \cdot 2 = 5$, и даже построить контрпример к великой теореме Ферма. В общем, неисчерпаемый источник математических открытий.

[migmit]

При возведении чисел в дробные степени нужна осторожность. Более-менее однозначно эта операция определена, только когда возводится положительное вещественное число. В остальных случаях приходится говорить о том, какую ветвь мы договариваемся взять.

[Munin]

Alex_J в сообщении #741449 писал(а):

Напишем $\frac 1 2$ как бесконечную сумму:

$$\frac 1 2=\frac 1 3+\frac 1 9+\frac 1 {27}+...$$

Тогда ("не зная" комплексных чисел, берём только действительное значение)

$$i=(-1)^\frac 1 3(-1)^\frac 1 9(-1)^\frac 1 {27}...=(-1)(-1)(-1)...$$

Знак результата не определён. И это мы называем мнимой единицей.

Какие-нибудь свойства мнимой единицы это ваше представление воспроизводит? Хотя бы $i^2=-1$? Если нет - фтопку. Поскольку тогда очевидно, что оно даже решить кубическое уравнение не поможет.

[arseniiv]

Кроме того, домножая ещё раз на $-1$, получаем $i = -i$.

[Euler7]

Alex_J в сообщении #741449 писал(а):

Напишем $\frac 1 2$ как бесконечную сумму:

$$\frac 1 2=\frac 1 3+\frac 1 9+\frac 1 {27}+...$$

Тогда ("не зная" комплексных чисел, берём только действительное значение)

$$i=(-1)^\frac 1 3(-1)^\frac 1 9(-1)^\frac 1 {27}...=(-1)(-1)(-1)...$$

Знак результата не определён. И это мы называем мнимой единицей. Значит, мнимая единица - это не определившаяся со знаком единица действительная.

А просто единица по такой логике как раскладывается?

[Alex_J]

longstreet
Цепочка, вроде бы, очевидных равенств приравнивает то, что находится слева и справа. Что можно возразить? ) Только показать, почему хотя бы одно из равенств неверно.

Посмотрим на это, как на математический казус. Возможно, в итоге всё будет очень просто, но может и нет.

migmit
О том, какую ветвь выбирать, я и написал особо: только действительный корень. Затем немного расписал, что будет, если выбирать другие ветви.

warlock66613 в сообщении #741462 писал(а):

А теперь возведём $i=(-1)(-1)(-1)...$ в квадрат. Получим $-1=1$

А вот это Ваша ошибка. Так делать нельзя.
Когда перемножается бесконечное количество минус единиц, это количество не может быть определено, как чётное или нечётное. Это же "детский сад" того же плана, что и попытка найти самое большое число. Как только вы скажете, что число сомножителей чётно - я отвечу, что есть ещё как минимум один сомножитель.
Поэтому при возведении в квадрат перемножать нужно не так: $(-1)^2(-1)^2(-1)^2...$, а всё так же: $(-1)(-1)(-1)(-1)...$ .
Более того, первичным всё-таки мы считаем общеизвестное определение мнимой единицы, поэтому должны признать, что "чётное бесконечное" число сомножителей даёт -1, иначе не сходится.
Не потому, что мы подгоняем, а потому, что мы не можем перемножить "дважды бесконечное" число сомножителей.

Из той же серии всем известное: $3\cdot\frac 1 3=3\cdot0,(3)=0,(9)=\frac 3 3 = 1$.
Мы не утверждаем, что напрямую пересчитали периодическую дробь в единицу. Мы берём практически за определение, что $0,(9)=1$, воспользовавшись цепочкой равенств.

arseniiv в сообщении #741525 писал(а):

Кроме того, домножая ещё раз на $-1$, получаем $i = -i$.

Снова - так нельзя делать, см. выше. Иначе можно утверждать, что $\infty+1>\infty$.

Munin в сообщении #741514 писал(а):

Какие-нибудь свойства мнимой единицы это ваше представление воспроизводит? Хотя бы $i^2=-1$?

Попробуем. Закройте пока что Вашу топку.

(Оффтоп)

Как же нехорошо звучит-то.

Euler7 в сообщении #741537 писал(а):

А просто единица по такой логике как раскладывается?

Единица, в отличие от $i$, не имеет более первичного определения, поэтому никак. Но поупражняться можно.

[hurtsy]

Euler7 в сообщении #741537 писал(а):

Тогда ("не зная" комплексных чисел, берём только действительное значение)

$$i=(-1)^\frac 1 3(-1)^\frac 1 9(-1)^\frac 1 {27}...=(-1)(-1)(-1)...$$

А можно иначе

$$i=(-1)^\frac 1 3(-1)^\frac 1 9(-1)^\frac 1 {27}...=(i)^\frac 2 3(i)^\frac 2 9(i)^\frac 2 {27}...=i$$

И зачем эти упражнения. С уважением,

[migmit]

Alex_J в сообщении #741584 писал(а):

longstreet
migmit
О том, какую ветвь выбирать, я и написал особо: только действительный корень. Затем немного расписал, что будет, если выбирать другие ветви.

Тогда ваше равенство для $i$ банально неверно.

-- Сб июн 29, 2013 17:50:18 --

Alex_J в сообщении #741584 писал(а):

longstreet
Единица, в отличие от $i$, не имеет более первичного определения, поэтому никак. Но поупражняться можно.

Думается мне, что "определения" $i$ вы не знаете. Просвещаю: $i$ — это образ $X$ в факторкольце $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$ (обозначаемом обычно через $\mathbb{C}$).

$-1$ определяется примерно аналогичным образом. Обычная единица — не совсем так, но тоже определяется.

[arseniiv]

Alex_J в сообщении #741584 писал(а):

О том, какую ветвь выбирать, я и написал особо: только действительный корень.

Тогда ваше произведение минус единиц расходится. Писать «знак результата не определён», конечно, можно, но это ведь не означает, что модуль определён. Хотя частичные произведения-то равны то $1$, то $-1$, это совершенно не отличается от случая, когда частичные произведения равны то $1$, то $-1{,}0004$ — предела всё равно нет.

[Euler7]

Alex_J в сообщении #741584 писал(а):

Единица, в отличие от $i$, не имеет более первичного определения, поэтому никак.

Имеет, см. определение вещественных чисел.

Alex_J в сообщении #741584 писал(а):

Но поупражняться можно.

Ценный совет, пойду в парке побегаю...

[Alextp]

Re: " i " - радикальный выход из положения

Из какого положения вы выходите?

[Xaositect]

Alex_J в сообщении #741584 писал(а):

arseniiv в сообщении #741525 писал(а):

Кроме того, домножая ещё раз на $-1$, получаем $i = -i$.

Снова - так нельзя делать, см. выше. Иначе можно утверждать, что $\infty+1>\infty$.

Почему? Забудем пока о разных вещах типа сходимости, и предположим, что равенство $i = (-1)(-1)(-1)\dots$ в каком-нибудь смысле верно. Я домножаю его на $-1$ слева: $(-1)\cdot i = (-1)\cdot (-1)(-1)(-1)\dots$, т.е. $-i = (-1)(-1)(-1)\dots$. Учитывая самое первое равенство, получаем $-i = i$.
Какой из переходов мы не можем сделать и почему?

[Deggial]

Alex_J, сформулируйте чётко вопрос, который Вы хотите обсудить. Сейчас у Вас текст выглядит как поток малосодержательного текста с псевдопарадоксом

Alex_J в сообщении #741449 писал(а):

Напишем $\frac 1 2$ как бесконечную сумму:

$$\frac 1 2=\frac 1 3+\frac 1 9+\frac 1 {27}+...$$

Тогда ("не зная" комплексных чисел, берём только действительное значение)

$$i=(-1)^\frac 1 3(-1)^\frac 1 9(-1)^\frac 1 {27}...=(-1)(-1)(-1)...$$

Единственный осмысленный вопрос здесь - почему приведённое равенство неверно? И ответ уже есть: из-за многозначности возведения комплексного в нецелую степень. Об этом Вы можете узнать из любой книжки по ТФКП. Конкретно, Вы не можете выбирать какую-либо ветвь, поскольку если $\frac 1 2=\frac 1 3+\frac 1 9+\frac 1 {27}+...$, то $(-1)^{\frac{1}{3^k}}=\exp\left(\frac{\pi}{3^k}i+\frac{2\pi n_k}{3^k}i\right)$ существуют некоторые $n_k$ такие, что $i=\exp\left(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\pi}{3^k}i(1+2n_k)\right)$. Для получения правильного соотношения нужно выбрать все $n_k=0$, в то время как Вы выбираете $n_k=\frac{3^k-1}{2}$.

В случае отсутствия чёткого вопроса или конструктивного ответа тема переедет в Пургаторий.