пространство Соболева

[Oleg Zubelevich]

Доказать, что $f\in H^1(\mathbb{R}^m)\Longrightarrow |f|\in H^1(\mathbb{R}^m)$

[ewert]

Кусочно линейные функции плотны в $H^1$.

[Oleg Zubelevich]

just another statement to prove

[sup]

Достаточно рассмотреть $\sqrt {\varepsilon + f^2}$. Можно, конечно, и здесь придраться, но их принадлежность $H^1$ легко показывается с помощью усреднения.

[Oleg Zubelevich]

даже если $f\equiv 0$?

[sup]

Для бесконечных областей имеется такой прием, как разбиение единицы.

-- Чт июн 27, 2013 14:51:19 --

Ну или брать пробные функции финитными и доказывать, что они плотны "где надо". В общем, есть разные подходы.

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим неравенство

$$\frac{\big||f(x+se_i)|-|f(x)|\big|}{s}\le \frac{|f(x+se_i)-f(x)|}{s},\quad f\in H^1(\mathbb{R}^m)$$

При $s\to 0$ выражение

$$ \frac{f(x+se_i)-f(x)}{s}$$

сходится в $L^2(\mathbb{R}^m)$ (сами знаете к чему), это известный факт, хотя можно и проверить -- другая задача и тоже с коротким красивым решением.

Следователоьно, выражение

$$\frac{|f(x+se_i)|-|f(x)|}{s}$$

ограничено в $L^2(\mathbb{R}^m)$, а значит существует последовательность $s_k\to 0$, такая, что

$$\frac{|f(x+s_ke_i)|-|f(x)|}{s_k}\to w(x)\in L^2(\mathbb{R}^m)$$

слабо. Ну и $w=|f|_{x_i}$.

ЧТД

Любопытно отметить, что если функция $f\in L^2(\mathbb{R}^m)$ то для того что бы $f_{x_i}\in L^2(\mathbb{R}^m)$ достаточно ограниченности
функции

$$s\mapsto\Big\| \frac{f(x+se_i)-f(x)}{s}\Big\|_{L^2(\mathbb{R}^m)}$$

[sup]

Мне кажется, здесь есть еще один интересный вопрос. Пусть $c$ - произвольное число, $M_c =\{ x| f(x) = c\}$ - "линия уровня".
Доказать, что для почти всех $x \in M_c$ выполнено $\nabla f(x) =0$. Утверждение тривиально верно, если мера $M_c$ равна 0. А если не равна?

[Oleg Zubelevich]

выложите решение пожалуйста

[sup]

Решение на удивление простое. И навеяно как раз Вашим вопросом о производной модуля. Я рассмотрю лишь случай одной переменной.
Чему равна производная от $|f(x)|$? Легко видеть, что $|f(x)|' = \operatorname{sign}( f(x)) f'(x)$. А теперь, переходя от модуля обратно (умножив на сигнум), получим
$f'(x) = \operatorname{sign}^2( f(x)) f'(x)$. Но теперь уже видно, что правая часть обращается в 0 там, где $f=0$. Все это, разумеется, симпатично, но не очень законно.
Для строгого обоснования возьмем $\varepsilon > 0$ и рассмотрим функцию $f_{\varepsilon}(x) = \frac {4}{\pi^2}\arctg^2 (f(x)/\varepsilon) f(x)$. Дифференцируем и переходим к пределу при $\varepsilon \to 0$. По теореме Лебега получаем
$f'(x) = \lim \limits_{\varepsilon \to 0}f_{\varepsilon}'(x) = \operatorname{sign}^2( f(x)) f'(x)$. Ну действительно, пусть $\varphi(x)$ - пробная функция. Тогда

$$-\int f_{\varepsilon}(x)\varphi ' (x)dx = \frac {4}{\pi^2}\int \varphi(x)f'(x) \left (\arctg^2 (f(x)/\varepsilon) + 2\arctg(f(x)/\varepsilon)\frac {\varepsilon f(x)}{\varepsilon^2 + f^2(x)}\right )dx$$

По теореме Лебега можно поточечно переходить к пределу. Замечу, что второе слагаемое в правой части поточечно стремится к 0. Получаем

$$-\int f(x)\varphi ' (x)dx = \int \varphi(x)f'(x)\operatorname{sign}^2( f(x))dx$$

А это в точности определение обобщенной производной функции $f(x)$.
Ну и, наконец, для произвольного $c$ имеем
$f'(x) = (f(x) - c)' = \operatorname{sign}^2( f(x)-c) f'(x)$

[Oleg Zubelevich]

да, красиво, положил себе в архив