неинтегрируемость:)

[Oleg Zubelevich]

Наивное такое утверждение об отсутствии первого интеграла.

$$\dot x=v_0(x)+\varepsilon v_1(x),\quad x\in M\quad (*)$$

-- динамическая система на гладком компактном многообразии без края $M$. $\varepsilon$ -- малый параметр.

Предположим, что система $\dot x=v_0$ имеет интегральный инвариант с плотностью $\rho(x)$ т.е. $\frac{\partial}{\partial x^i}\,(\rho v^i_0)=0$ и первый интеграл $f_0(x)$. Все объекты гладкие.

Через $L_{v_1}$ обозначим производную Ли.
Доказать, что если $\int_M(L_{v_1}f_0)f_0\rho\, dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m\ne 0$ то система (*) не имеет первого интеграла в виде ряда по степеням $\varepsilon$:

$$f=f_0+\varepsilon f_1+\ldots$$

[xmaister]

(Оффтоп)

А при чем тут метризуемость, собственно?

[Oleg Zubelevich]

xmaister в сообщении #740549 писал(а):

метризуемость, собственно

а где вы увидели слово "метризуемость" собственно?

[xmaister]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #740567 писал(а):

а где вы увидели слово "метризуемость" собственно?

Та ни где, меня проглючило, прошу прощения

[scwec]

Будем доказывать отсутствие первого интеграла у поля $V=V_0+\varepsilon{V_1}=\rho{v_0}+\rho\varepsilon{v_1}$. Теперь $\operatorname{div}V_0=0, V_0(f_0)=0$. Пусть первый интеграл $f$, указанного вида, для $V$, существует. Из $V(f)=0$ следует $V_0(f_1)=-V_1(f_0)$. Кроме того $\operatorname{div}(f_1{V_0})=V_0(f_1)$. И под интегралом, который по условию не равен нулю, появляется выражение $-\operatorname{div}({f_1}{f_0}V_0)$. А интеграл от этого выражения по $M$ равен нулю. Значит, первого интеграла вида $f=f_0+\varepsilon{f_1}+...$ у $V$ нет.

[Oleg Zubelevich]

Приятно наблюдать такие вещи. Вот пусть у нас есть динамическая система $\dot x=v(x)$ c приличной инвариантной мерой $d\mu$. И пусть $D$ это ограниченная область с гладкой границей в фазовом пространстве, область инвариантная и векторное поле $v$ касается $\partial D$.

Тогда оператор $L_v:L^2_\mu(D)\to L^2_\mu(D)$ плотно определен и кососимметричен: $(L_vf,g)=-(f,L_vg)$. Это следует из формулы интегрирования по частям:

Oleg Zubelevich в сообщении #739518 писал(а):

$$\int_D(L_vf)g\omega=\int_{\partial D}fgi_v\omega-\int_D(L_vg)f\omega.$$

А еще можно заметить, что $L_v$ это инфинитизимальная образующая группы Купмана $e^{tL_v}f=f\circ g^t_v$. Группа Купмана состоит из ортогональных операторов, как известно.
Возникает такая вторичная динамика в $L^2_\mu(D)$. Красивые вещи, хотя и тривиальные

-- Чт июн 27, 2013 10:23:30 --

Да, к чему это я, задача на эти формулы и была, но Вы и так обошлись.

[scwec]

Кстати, доказательство отсутстствия первого интеграла годится один в один, если рассматривать и необрезанное поле $v=v_0+\varepsilon{v_1}+\varepsilon^2v_2+...$ с тем же условием на интеграл по $M$.

[Oleg Zubelevich]

это конечно, просто лень даже в подробности вдаваться, поскольку толу к с этой теоремы всеравно практически ноль: первого интеграла указанного вида нет, а интеграл вида $F(f_0(x))+\varepsilon f_1+...$ уже может быть , ну и такого сорта возражений много
этой задаче место в олимпиадном разделе, не более

[scwec]

Хотел ведь написать, как бы хорошо было, кабы все теоремы о несуществовании так просто доказывались, вот и написал.

[scwec]

Вот ещё что.

Oleg Zubelevich в сообщении #741258 писал(а):

интеграл вида $F(f_0(x))+\varepsilon{f_1}+...$ уже может быть

Если предположить, что $\frac{dF(f_0)}{df_0}\ne{0}$, то отсутствие первого интеграла обеспечено ($F(f_0)=\exp(f_0)$, например).
А в общем случае, конечно, надо возиться с критическими точками, что малоинтересно в данном случае. Тут Ваша правда (насчет малоинтересно).