Вероятнось поглощения броуновской частицы

[therussianphysicist]

Есть броуновская частица в трехмерном пространстве, плотность вероятности $n$ для нее задается уравнением диффузии

$$\partial _t n = D \Delta n$$

В начальный момент она находилась на расстоянии $l$ от поглощающей сферы радиусом $a$ (сфера находится в начале координат). Как найти вероятность того, что частица никогда не будет поглощена сферой?

В сферических координатах для $n(r, t)$ получаем

$$\partial _t n = D \frac 1 {r^2} \partial _r \left(r^2 \partial _r n\right)$$

с начальным условием

$$n(r,0) = \frac {\delta \left(r - r_0\right)} {4 \pi r_0^2}, \ r_0 = a + l$$

Но как правильно задать граничные условия для этой задачи? Также, как правильно вычислить вероятность того, что частица никогда не поглотится, зная $n(r, t)$?

[Munin]

На языке уравнения теплопроводности, я думаю, граница поглощающей области была бы границей с нулевой температурой, а вероятность никогда не поглотиться - теплотой, ушедшей на бесконечность (поскольку в пределе $t\to 0$ в любой конечной точке температура будет нулевой).

[Oleg Zubelevich]

therussianphysicist в сообщении #739947 писал(а):

Но как правильно задать граничные условия для этой задачи?

$\int_{\mathbb{R}^3}ndV=1$

therussianphysicist в сообщении #739947 писал(а):

Также, как правильно вычислить вероятность того, что частица никогда не поглотится, зная $n(r, t)$?

а если бы время было дискретным?

[therussianphysicist]

Oleg Zubelevich в сообщении #739973 писал(а):

therussianphysicist в сообщении #739947 писал(а):

Но как правильно задать граничные условия для этой задачи?

$\int_{\mathbb{R}^3}ndV=1$

А как учесть наличие поглощающей сферы?

Oleg Zubelevich в сообщении #739973 писал(а):

therussianphysicist в сообщении #739947 писал(а):

Также, как правильно вычислить вероятность того, что частица никогда не поглотится, зная $n(r, t)$?

а если бы время было дискретным?

Что-то вроде

$$p = \sum\limits_i P(r > a | t = t_i) P(t = t_i)$$

что для непрерывного времени переходит в

$$p(t_0) = \int\limits_0^{t_0} \frac {dt} {t_0} P(r > a | t = t) = \int\limits_0^{t_0} \frac {dt} {t_0} \int \limits_a ^\infty 4\pi r^2 n(r,t) dr$$

и потом устремить $t_0$ к $\infty$?

-- 24.06.2013, 19:22 --

Munin в сообщении #739971 писал(а):

На языке уравнения теплопроводности, я думаю, граница поглощающей области была бы границей с нулевой температурой,

Т.е. $n(a, t) = 0$,

Munin в сообщении #739971 писал(а):

а вероятность никогда не поглотиться - теплотой, ушедшей на бесконечность (поскольку в пределе $t\to 0$ в любой конечной точке температура будет нулевой).

То есть так:

$$p = \int\limits_0^\infty dt \oint\limits _{r = a} d\vec{S}\cdot \frac {\partial} {\partial t} \vec{\nabla} n = \left . \int \limits_{r > a} dV n \right| _{t \rightarrow \infty} = \left \int\limits_a^\infty 4\pi r^2 n(r,t) dr \right| _{t \rightarrow \infty}$$

правильно?

[Oleg Zubelevich]

therussianphysicist в сообщении #739980 писал(а):

А как учесть наличие поглощающей сферы?

да, что-то тут не так, пожалуй это я маханул с интегралом по всему пространству

-- Пн июн 24, 2013 18:31:40 --

надо смотреть теорию про уравнение Фоккера-Планка

[druggist]

Возможно, следует найти вероятность нахождения частицы внутри сферы $a$ в различные моменты времени $t$. Для этого надо сначала решить уравнение диффузии, т.е., найти $n(r,t)$, а затем проинтегрировать по объему сферы (в соответствии с определением $n(r,t)$). Очевидно эта величина будет иметь максимум при каком-то конечном $t$, (когда $n$ -дельта-функция вероятность -ноль и когда $n$ уже "растеклась" по объему $>>l^3$ - тоже ноль). Эта вероятность в максимуме, вычитаемая из единицы, и будет, очевидно, ответ... а, может, неочевидно:)

[Vince Diesel]

Почему тут можно переходить сферические координаты? Точка же не по прямой движется.
Пусть есть источник частиц в точке $r_0$ и поглощающая сфера $S$. Этой ситуации соответсвует некоторая стационарная плотность распределения частиц. Поскольку источник точечный, это будет Функция Грина $G(r_0,y)$ задачи Дирихле для внешности шара. Сферой поглощается частиц

$$ \int_S\frac{\partial G(r_0,y)}{\partial n_y}\,ds_y. $$

Единица минус это число — те, которые уходят на бесконечность.

[druggist]

Vince Diesel в сообщении #740245 писал(а):

Пусть есть источник частиц в точке и поглощающая сфера . Этой ситуации соответсвует некоторая стационарная плотность распределения частиц.

Почему стационарная?

Для случая $a<<l$ решение очевидно, но, действительно, как быть, когда $a$ порядка $l$ ?

[Vince Diesel]

Это предел при $t\to+\infty$ нестационарного распределения. Включили источник частиц (тепла), через некоторое время получится стационарное распределение частиц (тепла).

[Munin]

Потому что он ввёл источник, постоянно испускающий частицы. Забавная переформулировка задачи.

[druggist]

Vince Diesel в сообщении #740282 писал(а):

Это предел при нестационарного распределения.

Так он же нулю равен, этот предел

[Munin]

druggist

Munin в сообщении #740284 писал(а):

Потому что он ввёл источник, постоянно испускающий частицы.

[druggist]

Munin в сообщении #740284 писал(а):

Потому что он ввёл источник, постоянно испускающий частицы. Забавная переформулировка задачи.

Вы находите это забавным?

[Munin]

Мне понравилось. Разом можно избавиться от интегрирования по времени. Жаль, что мне такое в голову не пришло.

[druggist]

А при чем здесь задача ТС?