При каких значениях параметра единственное решение?

[lampard]

При каких значениях параметра единственное решение?

$a\sqrt{x+y}=\sqrt{x}+\sqrt{3y}$

Допустимые значения $x\geqslant 0,\;\;\;\;\;y\geqslant 0$

Замена $u=\sqrt{x}\;\;\;\;\;\;v=\sqrt{y}$

$a\sqrt{u^2+v^2}=u+\sqrt{3}v$

$a^2(u^2+v^2)=u^2+3v^2+2\sqrt{3}uv$ (*)

1) $v\ne 0$

Замена $t=\frac{u}{v}$

$a^2(t^2+1)=t^2+3+2\sqrt{3}t$

$(a^2-1)t^2 -2\sqrt{3}t+a^2-3=0$

a) $a\ne \pm 1$

$D=12-4(a^2-1)(a^2-3)=4(3-(a^2-1)(a^2-3))=4(3-(a^4-4a^2+3)=$

$=4(4a^2-a^4)=4a^2(2-a)(2+a)=0$

$a=\{0;2;-2\}$

b) При $a=\pm 1$ -- единственное решение.

2) $v=0$

$au=u$

$a(u-1)=0$

При $a=0$ будет единственное решение $x=y=0$

Ответ: $a=\{-2;0;2\}$

Верно ли решено, а может можно было проще?

[mihailm]

Если a отрицательное - единственное решение ноль ноль, нет?

[lampard]

mihailm в сообщении #739680 писал(а):

Если a отрицательное - единственное решение ноль ноль, нет?

Это точно, забыл про этот момент) А остальное -- все ок? Можно ли бы сделать другим способом?

[mihailm]

lampard в сообщении #739692 писал(а):

...А остальное -- все ок? Можно ли бы сделать другим способом?

Да что-то решение меня не вдохновляет.
При $a=2$ решения $(1,3);(4,12)$

[lampard]

mihailm в сообщении #739694 писал(а):

lampard в сообщении #739692 писал(а):

...А остальное -- все ок? Можно ли бы сделать другим способом?

Да что-то решение меня не вдохновляет.
При $a=2$ решения $(1,3);(4,12)$

Странно, не понимаю - почему так получилось...

[Shadow]

Если $(x,y)$ решение, то и $(tx,ty)$ ...

[mihailm]

lampard в сообщении #739983 писал(а):

...
Странно, не понимаю - почему так получилось...

А я думал, и про этот момент забыли)
По-моему это не решение а какая-то фигня, а по-вашему?

[lampard]

mihailm в сообщении #739996 писал(а):

lampard в сообщении #739983 писал(а):

...
Странно, не понимаю - почему так получилось...

А я думал, и про этот момент забыли)
По-моему это не решение а какая-то фигня, а по-вашему?

Тоже, но альтернатив -- не вижу(((

[mihailm]

Решение можно вытащить из моих постов и Shadow выдал отличную подсказку

[lampard]

Спасибо. Если $a\le 0$, то будет единственное решение $(0;0;0)$

Учитывая то, что при любом положительном $a$, если решение есть, то оно не единственно, ввиду того

Shadow в сообщении #739995 писал(а):

Если $(x,y)$ решение, то и $(tx,ty)$ ...

...решение.

Верно? Тогда ответ $a\le 0$?

[mihailm]

lampard в сообщении #740132 писал(а):

...
Учитывая то, что при любом положительном $a$, если решение есть, то оно не единственно...

Ваше решение тоже пригодится)
А если его нет?

[Otta]

lampard в сообщении #740132 писал(а):

Учитывая то, что при любом положительном $a$, если решение есть, то оно не единственно, ввиду того

Shadow в сообщении #739995 писал(а):

Если $(x,y)$ решение, то и $(tx,ty)$ ...

Не так. Если есть решение, отличное от нулевого, то оно неединственно.

[Shadow]

lampard в сообщении #740132 писал(а):

Учитывая то, что при любом положительном $a$, если решение есть, то оно не единственно, ввиду того

После возведения в квадрат получаем:
$\\a^2(x+y)=x+3y+2\sqrt{3xy}\\ (a^2-1)(x+y)=2y+2\sqrt{3xy}$

Сколько решений будет при $0<a<1$?

[lampard]

Shadow в сообщении #740226 писал(а):

lampard в сообщении #740132 писал(а):

Учитывая то, что при любом положительном $a$, если решение есть, то оно не единственно, ввиду того

После возведения в квадрат получаем:
$\\a^2(x+y)=x+3y+2\sqrt{3xy}\\ (a^2-1)(x+y)=2y+2\sqrt{3xy}$

Сколько решений будет при $0<a<1$?

при $0<a<1$ только одно $(0;0)$ решение, иначе левая часть будет отрицательна, а правая положительно (то есть противоречие).

Вообще, только сейчас дошло, что при любом значении параметра будет хотя бы одно решение (нулевое решение).

Если $a=1$, то тоже только одно $(0;0)$, если $a>1$, то нужно смотреть на то самое квадратное уравнение?

[mihailm]

lampard в сообщении #740263 писал(а):

...нужно смотреть на то самое квадратное уравнение?

Да, на его дискриминант