тензорный анализ

[Oleg Zubelevich]

В пространстве $\mathbb{R}^m$ зададим риманову метрику $g_{ij},\quad g^2=\det(g_{ij})$, и векторное поле $v$. Введем форму объема $\omega=\sqrt g \,dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m$.
Пусть $N\subset \mathbb{R}^m,\quad \dim N=m-1$ -- гладкая гиперповерхность.

Рассмотрим форму $\psi=i_v\omega$, где $i_v$ -- оператор гомотопии. Доказать, что сужение формы $\psi$ на поверхность $N$ представляется в виде $(v,n)dS$ где $n$ -- вектор единичной нормали к поверхности, $dS$ --элемент $m-1$ мерного объема на поверхности, скобками обозначено скалярное произведение.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #739774 писал(а):

$g^2=\det(g_{ij})$, $\omega=\sqrt g \,dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m$.

Отклонение от общепринятых определений - опечатка, или намеренное?

Oleg Zubelevich в сообщении #739774 писал(а):

...где $i_v$ -- оператор гомотопии.

Дайте определение и ссылку на литературный источник.

[lena7]

Munin в сообщении #739778 писал(а):

Дайте определение и ссылку на литературный источник.

Это interior product. Вы же уже спрашивали в другой теме.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #739778 писал(а):

Отклонение от общепринятых определений - опечатка, или намеренное?

опечатка, должно быть $ g=\det(g_{ij})$, thanx

Munin в сообщении #739778 писал(а):

Дайте определение и ссылку на литературный источник.

дал уже в другой теме

Munin а по существу вопроса что-нибудь сказать сможете?

[Munin]

lena7 в сообщении #739804 писал(а):

Это interior product. Вы же уже спрашивали в другой теме.

Мне ответили другие люди, и без ссылок на литературу. Я хочу добиться от форумного хама ответа за свои слова. Именно такое название я нигде найти не могу, даже после ответов других людей, ни по-русски, ни по-английски.

-- 24.06.2013 16:03:15 --

Oleg Zubelevich в сообщении #739808 писал(а):

дал уже в другой теме

Ссылку на эту другую тему? Точнее, на сообщение с определением. И не забудьте, я спрашивал ещё о литературном источнике.

Если всего этого не будет:
Нельзя задавать (олимпиадные) задачи в своих "птичьих" терминах, которых никто, кроме вас, не знает, и которые нигде в литературе не используются. Можно ввести новый термин в рамках задачи, но при этом дать ему чёткое определение, причём здесь же, в задаче, а не отсылая опять "на деревню к дедушке". Читатели форума - это не ваши личные подопытные студенты, и заслуживают уважения.

[Oleg Zubelevich]

Ха! судя по выкрикам , с задачей этот Munin не справился


Есть, конечно, лобовое решение, но оно довольно громоздко. Гораздо удобней действовать с помощью следующей очевидной леммы.

Лемма. В достаточно малой окрестности любой точки многообразия $N$ (окрестность берется в $\mathbb{R}^m$) существуют координаты $y^1,\ldots, y^m$ с базисными векторами $e_1(y),\ldots, e_m(y)$ такие, что

1) многообразие $N$ задается уравнением $y^m=0$

2) Если $y\in N$ то $e_m(y)\perp T_yN,\quad |e_m(y)|=1$

В координатах $(y)$ задача роешается тривиально. Действительно, заметим, что в силу 1) координаты $y^1,\dots, y^{m-1}$ являются локальными координатами на поверхности $N$. Далее, $\psi\mid_N=v^m\sqrt g dy^1\wedge\ldots\wedge dy^{m-1}$ (может с точностью до знака).
Остается заметить, что в силу 2) в точках поверхности $N$ метрический тензор имеет следующий вид: $g_{mm}=1,\quad g_{im}=0$ при $i<m$. Поэтому $\sqrt g dy^1\wedge\ldots\wedge dy^{m-1}$ это в точности форма $m-1$ мерного объема на поверхности $N$.

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #739968 писал(а):

Есть, конечно, лобовое решение, но оно довольно громоздко. Гораздо удобней действовать с помощью следующей очевидной леммы.

А зачем? Утверждение по-моему чисто локальное, в касательной плоскости каждой точки гиперповерхности. И поэтому "очевидное" (не более, чем линейно-алгебраическое). Поправьте, если я не прав.

[Oleg Zubelevich]

я не понял Вашу мысль

[Padawan]

Рассматриваем форму $i_v\omega$ на $N$. Берём точку $x\in N$ и $m-1$ вектор $\xi_1,\ldots,\xi_{m-1}\in T_xN$. Вычисляем $i_v\omega(\xi_1,\ldots,\xi_{m-1})=\omega(v,\xi_1,\ldots,\xi_{m-1})$. Проверяем, что это есть $(v,n)dS(\xi_1,\ldots,\xi_{m-1})$. Проверка чисто алгебраическая.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #740064 писал(а):

Рассматриваем форму $i_v\omega$ на $N$

Ее надо сузить сначала на $N$. Если сужать в каких попало координатах, то будет выражение общего вида и алгебраическая проверка будет сложной.
Поэтому , без первого пункта леммы жить плохо, а базис, да можно только в точке поверхности $N$ построить. Это замечание ,действителоьно, вроде бы упрощает рассуждение.

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #740066 писал(а):

Ее надо сузить сначала на $N$. Если сужать в каких попало координатах, то будет выражение общего вида и алгебраическая проверка будет сложной.

Никаких координат. Сузить форму на $N$ - значит рассматривать её значения только в точках $x\in N$ и для векторов $\xi_1,\ldots,\xi_{m-1}\in T_xN$.

[Oleg Zubelevich]

хорошо, проделайте это рассуждение в бескоординатной форме, сравним рациональность доказательств

-- Пн июн 24, 2013 21:53:26 --

там кстати еще метрический тензор сужать надо

[Padawan]

По сути у нас задача: даны вектора $v,\xi_1,\ldots,\xi_{m-1}$. Доказать, что $V_m(v,\xi_1,\ldots,\xi_{m-1})=(v,n)V_{m-1}(\xi_1,\ldots,\xi_{m-1})$, где вектор $n$ перпендикулярен векторам $\xi_1,\ldots,\xi_{m-1}$ ($V_m$ - $m$-мерный объем параллелепипеда, построенного на $m$ векторах). По-моему тривиальное утверждение.

Я всё проделал. Не пойму, что Вам не нравится. Вы так говорите "сужать", как будто это что-то страшное )

[Oleg Zubelevich]

Да, согласен, утверждение действительно более тривиальное чем я думал из-за привычки рассуждать в координатах.

[Munin]

Так долго мне ещё ждать?