Вероятность сумм 7 и 8, 8 и 7 при бросании двух кубиков

[Yu_K]

Два человека играют в следующую игру - автомат периодически выбрасывает пару кубиков и игроки подсчитывают сумму очков - каждый ждет своей комбинации вариантов - первый выигрывает если раньше выпадает комбинация (идущие подряд суммы) 7 и 8, второй выигрывает, если раньше выпадает комбинация 8 и 7. У кого из них больше шансов выиграть?

Так например в серии - 6,4,5,9,7,8 - выигрывает первой игрок, а в серии 12,8,7 - выигрывает второй игрок.

[Shadow]

Я не знаю почему задача в виде опроса и можно ли коментировать, потому прокоментирую. Найдем вероятность выгрыша первого. Обозначим через $x$ вероятность выиграть, если последнее выпавшее число неитральное (не 7 и не 8), $y$ если последнее 7, $z$ если последнее 8. Получается система:

$\\x=\frac{6}{36}y+\frac{5}{36}z+\frac{25}{36}x\\ \\ y= \frac{5}{36}+\frac{6}{36}y+\frac{25}{36}x\\ \\ z=\frac{5}{36}z+\frac{25}{36}x$

Нас интерсует $x$

[Yu_K]

Надо было написать - что интересуют интуитивные ответы - т.е. без вычислений.

[Лукомор]

Yu_K в сообщении #739577 писал(а):

без вычислений.

Можно и без вычислений...
Пусть $p_7$ - вероятность выпадения 7 очков на двух кубиках, и $p_8$ -вероятность выпадения 8 очков соответственно.
Тогда вероятность того, что выпадет 7 очков, а затем 8 очков будет равна $p_{7,8}=p_7 p_8$, соответственно,вероятность выпадения 8 очков, а затем 7 очков равна $p_{8,7}=p_8 p_7$.
$p_7 p_8=p_8 p_7$, следовательно
$p_{7,8}=p_{8,7}$.

[Shadow]

Лукомор в сообщении #739816 писал(а):

Можно и без вычислений...

Можно конечно. Неправильный ответ всегда можно дать и без вычислений.
Интересно, что даже при решенной задаче пока нет ни одного правильного ответа.

[Александрович]

Мне кажется они в среднем будут одинаково выигрывать.

[--mS--]

Ну так ТС просил интуитивные ответы, что же Вы хотите :)

[kw_artem]

Как ни странно, по системе Shadow получилось, что у обоих шансы одинаковы, хотя сам голосовал за последний ответ.

[Shadow]

Ну, интуитивно понятно, что если задача дается на форуме, "интуитивный" ответ скорее всего, неправильный. Хорошо, попробуем интуитивно, без вычислений:
Представим себе длинную длинную цепочьку чисел. Интуитивно понятно, что комбинации $7,8 \text{ и } 8,7$ будут встречатся, примерно поравну. Первая комбинация дает победу первому, вторая - второму. Но не всегда! Иногда встретится $7,8,7$ и тогда это $8,7$ второму ни к чему. Игра кончилась на 8 победой первого и новая началась с 7. (а если следующее тоже 8? - гадость). Аналогично при $8,7,8$ - потерпевший первый. Но какая комбинация случается чаще: $7,8,7 \text { или } 8,7,8$? Мне кажется, первая. Кажется, кажется....когда можно найти точный ответ, лучше решать.

kw_artem в сообщении #739878 писал(а):

Как ни странно, по системе Shadow получилось, что у обоих шансы одинаковы, хотя сам голосовал за последний ответ.

Как ни странно, по системе получается $x=\frac{31}{61}$ тоест, у первого шансы чуть больше.

[kw_artem]

Shadow в сообщении #739885 писал(а):

Как ни странно, по системе получается $x=\frac{31}{61}$ тоест, у первого шансы чуть больше.

И действительно, $\frac{31}{61}$. Извиняюсь, в последнем уравнении ляпнул член с "игреком."

[ИСН]

В теорвере много таких возмутительных вещей. Тут помогает доведение до абсурда: положим, они кидают сильно кривую монетку, у которой выпадает обычно 1, и только очень-очень редко - 2. Один ждёт комбинации 12, а другой - 21. Вроде бы всё равно: что совой об пень, что пнём об сову? Да нет, уже не всё!

[Yu_K]

ИСН
Хороший пример Вы привели - спасибо.
И интуитивные рассуждения Shadow подводят к правильному результату.