x^{-x}=4. Есть ли корни у уравнения?

[VAL]

Foreman Jay в сообщении #739552 писал(а):

$(G, \cdot)$ -- группа. Вводим операцию возведения в степень:

$$ g \in G, n \in \mathbb{Z} \Rightarrow g^n := \begin{cases} \underbrace{g \cdot \hdots \cdot g}_{\text{n раз}}, &\text{если n>0;} \\ e, &\text{если n=0;} \\ \underbrace{g^{-1} \cdot \hdots \cdot g^{-1}}_{\text{-n раз}}, &\text{если n<0.} \end{cases} $$

Годное для школьников определение, по которому, если считать Ваш $x \in \mathbb{Z}$, имеет единственное решение.

А как школьники должны понимать выражение $-n$ раз?

[Xaositect]

sergei1961 в сообщении #739163 писал(а):

2. Основания можно любые разумные. Тогда в принципе невозможно обоснование простейших свойств степеней и корней без логических ошибок и обмана до введения многозначных функций и комплексных чисел.

Ну, обоснование простейших свойств степеней с действительным показателем и положительным действительным основанием --- уже задача нетривиальная и школьникам, как правило, не дается.

[Foreman Jay]

VAL в сообщении #739650 писал(а):

А как школьники должны понимать выражение $-n$ раз?

$n<0 \Rightarrow n=-|n| \Rightarrow (-n) \in \mathbb{N}$, конечно же Ну а подставлять, искать противоположные и перемножать натуральные школьникам уметь точно надо.
Xaositect, как и очень многие обоснования. Что, быть может, к лучшему...

[VAL]

Foreman Jay в сообщении #739735 писал(а):

VAL в сообщении #739650 писал(а):

А как школьники должны понимать выражение $-n$ раз?

$n<0 \Rightarrow n=-|n| \Rightarrow (-n) \in \mathbb{N}$, конечно же

Каюсь! Был невнимателен. В порядке самобичевания досчитал до $-n$ в точности $-n$ раз.