Теория игр

[Slumber]

Помогите, пожалуйста, разобраться:

У меня такая позиционная игра:

Случайно выбирается число $x \in {1,2}$, $p_1=p_2=1/2$ - равновероятно.
Ход 2: Игрок $A$ выбирает число $y \in {1,2}$.
Ход 3: Игрок $B$ выбирает число $z \in {1,2}$.

Функцию выигрыша я написал на концах дерева.

Игрок $A$ не знает $x$, а игроку $B$ известно только значение $xy$.

Нужно изобразить игру в виде топологического дерева, описать все стратегии игроков и найти нормальную форму игры.

Ну, я составляю дерево




$A$ не знает ничего, поэтому у него одно информационное множество и всего две стратегии - выбрать 1 или 2.
$B$ знает $xy=1,2,4$, потому у него выходит три множества - для 1 и 4 он восстанавливает и начальное число, и выбор $A$.
У $B$ выходит 6 стратегий.

То есть, получаем у $A$ две стратегии, у $B$ - шесть, будет матрица 2x6.
Пытаюсь ее написать:
$\bordermatrix{~ & B:1(xy=1) & B:2(xy=1) & B:1(xy=2) & B:2(xy=2) & B:1(xy=4) & B:2(xy=4) \cr A:1 & -2 & 2 & 4 & 0 & \cdot & \cdot \cr A:2 & \cdot & \cdot & 3 & -4 & -2 & 6 \cr}$

В данном случае, я не знаю, что ставить на месте точек, так как, скажем, при $xy=1$ однозначно $A$ выбрал 1.
Я могу подправить матрицу, слив 1ю и 4ю стратегии для $B$, но это же неправильно.

$\bordermatrix{~ & B:1(xy=1,4) & B:2(xy=1,4) & B:1(xy=2) & B:2(xy=2) \cr A:1 & -2 & 2 & 4 & 0 \cr A:2 & -2 & 6 & 3 & -4 \cr}$

[Slumber]

Почитал книгу Г.Оуэна, появилась такая идея:

У $B$ три информационных множества, потому его стратегии такие:

1. Выбрать 1, если $xy=1$, выбрать 1, если $xy=2$, выбрать 1, если $xy=4$. Запишем как $(1,1,1)$;
2. Выбрать 1, если $xy=1$, выбрать 1, если $xy=2$, выбрать 2, если $xy=4$. Запишем как $(1,1,2)$;
3. $(1,2,1)$;
4. $(1,2,2)$;
5. $(2,1,1)$;
6. $(2,1,2)$;
7. $(2,2,1)$;
8. $(2,2,2)$.
Итого у $B$ восемь стратегий, у $A$ всего две - выбрать 1 или 2.

Тогда для заполнения таблицы нам понадобятся вероятности,
Т.е. Если $A$ выбирает 1, клетка $(1,(1,1,1))$ определится так: с вероятностью $\frac{1}{2}$ у нас $xy = 1 \cdot 1=1$, и с вероятностью $\frac{1}{2}$ еще $xy = 2 \cdot 1=2$. Потому число в клетке равно, согласно выбору игроком $B$ стратегии $(1,1,1)$: $\frac{1}{2} \cdot (-2) + \frac{1}{2} \cdot 4 = 1$. Для стратегии $B$ $(1,2,1)$ в клетке $(1,(1,2,1))$ будет $\frac{1}{2} \cdot (-2) + \frac{1}{2} \cdot 0 = -1$.
Теперь, в принципе, вся таблица заполняется.
$\bordermatrix{~ & B:(1,1,1)& (1,1,2) & (1,2,1) & (1,2,2) & (2,1,1) & (2,1,2) & (2,2,1) & (2,2,2) \cr A:1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 3 & 1 & 1 & -1\cr 2 & 1/2 & 9/2 & -3 & 1 & 1/2 & 9/2 & -3 & 1 \cr}$
Я мог ошибится в некоторых числах таблицы, буду подправлять еще.

Но в нормальной форме игры по идее должны быть чистые стратегии, или я чего-то не понимаю?