Что такое инерция квадратичных форм?

[BAHOO]

На экзамене на ответе на закон инерции квадратичных форм, экзаменатор спросил меня "Что такое инерция?". Ну понять я толком это не смог, ну тогда я что-то призабыл сам закон инерции. Преподаватель любит ответы по лекциям, а у нас задиктован закон так: Любое симметричное конгруэнтное преобразование может привести к матрице вида $\operatorname{diag}\{I_{n+1}, -I_{n-1}, 0_{n_0}\}$. $\{n_+, n_-, n_0\}$- инерция матрицы $A$.
Если быть честным, то я это определение не очень понимаю т.к в книгах, которые открывал, данный закон звучит на много понятней и не уверен, что это определение равнозначно с стандартным определением в книгах по линейной алгебре и аналитической геометрии. Но вот что же такое инерция матрицы я совсем не понял, а отвечать надо т.к отправлен на допсу. Объясните, пожалуйста, а то найти не могу нигде

[Xaositect]

BAHOO в сообщении #739252 писал(а):

Если быть честным, то я это определение не очень понимаю т.к в книгах, которые открывал, данный закон звучит на много понятней и не уверен, что это определение равнозначно с стандартным определением в книгах по линейной алгебре и аналитической геометрии.

Давайте Вы приведете понятную Вам формулировку, а потом мы поробуем понять, что на самом деле это то же самое.

[BAHOO]

не уверен что то это, но по контексту я понял что это оно и есть
"Число положительных и число отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависят от базиса, в котором она приведена к каноническому виду"

[Xaositect]

Допустим. Теперь давайте разбираться с формулировкой из конспекта. Слова в ней перепутаны очень интересным образом:

BAHOO в сообщении #739252 писал(а):

Любое симметричное конгруэнтное преобразование может привести к матрице вида $\operatorname{diag}\{I_{n+1}, -I_{n-1}, 0_{n_0}\}$.

У Вас есть идеи, что такое "симметричное конгруэнтное преобразование" и как оно может привести к матрице? Были вообще в курсе слова "конгруэнтное преобразование" и что они означают?

[BAHOO]

Xaositect в сообщении #739261 писал(а):

Допустим. Теперь давайте разбираться с формулировкой из конспекта. Слова в ней перепутаны очень интересным образом:

BAHOO в сообщении #739252 писал(а):

Любое симметричное конгруэнтное преобразование может привести к матрице вида $\operatorname{diag}\{I_{n+1}, -I_{n-1}, 0_{n_0}\}$.

У Вас есть идеи, что такое "симметричное конгруэнтное преобразование" и как оно может привести к матрице? Были вообще в курсе слова "конгруэнтное преобразование" и что они означают?

ну идеи есть, раз конгруэнность матрицы $A$ и $B$ говорит о том, что можно одну выразить через другую с помощью другой матрицы $A=Q^{T}BQ$ , но дальше идея глупая совсем, может матрица $Q$ является Эрмитовой-самосапряженной, на сколько я помню, она симметричная т.е получится что-то вроде $A =QBQ$

[Xaositect]

BAHOO в сообщении #739268 писал(а):

конгруэнность матрицы А и В говорит о том, что можно одну выразить через другую с помощью другой матрицы $A=Q^{T}BQ$

Так, давайте это запомним, а все остальное забудем, ибо бред.
Вот. Две матрицы $A$ и $B$ называются конгруэнтными, если $\exists Q: B = Q^T A Q$. Соответственно, конгруэнтное преобразование - это переход от матрицы $A$ к конгруэнтной ей матрице $Q^T A Q$.
Теперь давайте разберемся с матрицами. Вот у Вас в конспекте что-то про матрицы, а называется закон инерции квадратичных форм. Как связаны между собой квадратичные формы и матрицы, можете что-нибудь по этому поводу вспомнить?

[Munin]

BAHOO в сообщении #739252 писал(а):

На экзамене на ответе на закон инерции квадратичных форм, экзаменатор спросил меня "Что такое инерция?".

В математике такого понятия не вводится, а конкретные закидоны конкретных лекторов и экзаменаторов математикой не описываются.

В математике есть просто закон инерции, а что при этом под инерцией понимается - понимайте как хотите. Можете привести экзаменатору в доказательство Математическую Энциклопедию в 5 томах. (Там даны ещё понятия $(n_+,n_-)$ - сигнатура формы, и $n_-$ - индекс инерции. Иногда сигнатурой называется $n_+-n_-$. Пусть сам проверит: т. 2 ккол. 562-563.)

-- 21.06.2013 23:06:39 --

Впрочем, возможно, вопрос "Что такое инерция?" - это попытка уставшего экзаменатора достучаться до древесины головного мозга тупого экзаменуемого, с пятой попытки не могущего про закон инерции промямлить ничего внятного.

[BAHOO]

Munin в сообщении #739279 писал(а):

BAHOO в сообщении #739252 писал(а):

На экзамене на ответе на закон инерции квадратичных форм, экзаменатор спросил меня "Что такое инерция?".

В математике такого понятия не вводится, а конкретные закидоны конкретных лекторов и экзаменаторов математикой не описываются.

В математике есть просто закон инерции, а что при этом под инерцией понимается - понимайте как хотите. Можете привести экзаменатору в доказательство Математическую Энциклопедию в 5 томах. (Там даны ещё понятия $(n_+,n_-)$ - сигнатура формы, и $n_-$ - индекс инерции. Иногда сигнатурой называется $n_+-n_-$. Пусть сам проверит: т. 2 ккол. 562-563.)

-- 21.06.2013 23:06:39 --

Впрочем, возможно, вопрос "Что такое инерция?" - это попытка уставшего экзаменатора достучаться до древесины головного мозга тупого экзаменуемого, с пятой попытки не могущего про закон инерции промямлить ничего внятного.

как бы то нибыло, но на вопрос что такое "Инерция" отвечать придётся теперь мне т.к он на бумажке написал, попробую принести энциклопедию, может поможет

-- 21.06.2013, 23:21 --

Xaositect в сообщении #739278 писал(а):

BAHOO в сообщении #739268 писал(а):

конгруэнность матрицы А и В говорит о том, что можно одну выразить через другую с помощью другой матрицы $A=Q^{T}BQ$

Так, давайте это запомним, а все остальное забудем, ибо бред.
Вот. Две матрицы $A$ и $B$ называются конгруэнтными, если $\exists Q: B = Q^T A Q$. Соответственно, конгруэнтное преобразование - это переход от матрицы $A$ к конгруэнтной ей матрице $Q^T A Q$.
Теперь давайте разберемся с матрицами. Вот у Вас в конспекте что-то про матрицы, а называется закон инерции квадратичных форм. Как связаны между собой квадратичные формы и матрицы, можете что-нибудь по этому поводу вспомнить?

кажется я понял к чему хотите привести. К тому, что квадратичная форма в базисе имеет диагональный вид при условии что квадратичная форма отвечает уравнению

$$k(\text{x})=\sum_\text{для всех $i$} {\epsilon_i (\xi^i)^2}$$

.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #739279 писал(а):

Впрочем, возможно, вопрос "Что такое инерция?" - это попытка уставшего экзаменатора достучаться до древесины головного мозга тупого экзаменуемого, с пятой попытки не могущего про закон инерции промямлить ничего внятного.

Даже и в крайней усталости и даже в крайнем подпитии экзаменатор должен хотя бы стараться формулировать свои вопросы хотя бы минимально внятно. В данном случае этого не произошло. На вопрос "что такое инерция" единственно возможный ответ: "в данном случае -- ничто". Однако подавляющее большинство студиозусов просто побоится выдать такой ответ, даже и будучи уверенным в его правильности.

Я так нервно реагирую потому, что не далее как позавчера столкнулся с аналогичной ситуацией. Выпускнице был задан вопрос по поводу уравнения $\Delta u=f$: "а что такое $f$?" (практически дословно). Задавальщик, естественно, имел в виду "какой физический смысл она может иметь", но спросить открытым текстом как-то застеснялся. Девочка немедленно оказалась в ступоре. Т.е. она прекрасно понимала, что физический смысл не имеет ни малейшего отношения к предмету разговора; но как она могла догадаться, что единственно правильным ответом на подобный вопрос было бы "функция $f$ -- это функция"?...

[Xaositect]

BAHOO в сообщении #739282 писал(а):

кажется я понял к чему хотите привести. К тому, что квадратичная форма в базисе имеет диагональный вид при условии что квадратичная форма отвечает уравнению

Ну вообще что-то похожее, но я не понимаю, что такое "квадратичная форма имеет диагональный вид", и кто такие $\epsilon_i$ и $\xi^i$.

[ewert]

BAHOO в сообщении #739282 писал(а):

К тому, что квадратичная форма в базисе имеет диагональный вид при условии что квадратичная форма отвечает уравнению

$$k(\text{x})=\sum_\text{для всех $i$} {\epsilon_i (\xi^i)^2}$$

Только не сама форма имеет вид, а её матрица. И не "отвечает уравнению" (тут нет ни одного уравнения), а "задаётся выражением вида".

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #739287 писал(а):

Даже и в крайней усталости и даже в крайнем подпитии экзаменатор должен хотя бы стараться формулировать свои вопросы хотя бы минимально внятно.

Ну, экзаменаторы бывают неидеальные. Кроме того, я себе представил, что вопрос вырван из контекста, причём очень сильно. Скажем, экзаменатор спрашивал "... три тонны чего-то (объяснений, попыток вытянуть ответ, навести на мысль) ... хотя бы, что такое инерция?". А герой-троечник перед нами предстаёт весь в белом, и говорит: "У меня спросили, что такое инерция."

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #739300 писал(а):

Скажем, экзаменатор спрашивал "... три тонны чего-то (объяснений, попыток вытянуть ответ, навести на мысль) ... хотя бы, что такое инерция?".

А я не могу себе этого представить. Т.е. могу, конечно, что ляпнуть-то он это мог; но немедленно после этого он обязан был спохватиться и задать вопрос более внятно. Ну хотя бы: "А как Вы полагаете, почему в этой теореме употреблено именно слово инерция"? Тоже вопрос достаточно бессмысленный, но хоть сколько-то наводящий.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #739305 писал(а):

Т.е. могу, конечно, что ляпнуть-то он это мог; но немедленно после этого он обязан был спохватиться и задать вопрос более внятно.

В семь вечера, на двадцать пятом отвечающем...

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #739309 писал(а):

В семь вечера, на двадцать пятом отвечающем...

мне это послезавтра предстоит, воистину воскресе... ну это так, лирика.