fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Что такое инерция квадратичных форм?
Сообщение21.06.2013, 20:49 


26/11/11
134
На экзамене на ответе на закон инерции квадратичных форм, экзаменатор спросил меня "Что такое инерция?". Ну понять я толком это не смог, ну тогда я что-то призабыл сам закон инерции. Преподаватель любит ответы по лекциям, а у нас задиктован закон так: Любое симметричное конгруэнтное преобразование может привести к матрице вида $\operatorname{diag}\{I_{n+1}, -I_{n-1}, 0_{n_0}\}$. $\{n_+, n_-, n_0\}$- инерция матрицы $A$.
Если быть честным, то я это определение не очень понимаю т.к в книгах, которые открывал, данный закон звучит на много понятней и не уверен, что это определение равнозначно с стандартным определением в книгах по линейной алгебре и аналитической геометрии. Но вот что же такое инерция матрицы я совсем не понял, а отвечать надо т.к отправлен на допсу. Объясните, пожалуйста, а то найти не могу нигде

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое инерция квадратичных форм?
Сообщение21.06.2013, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
BAHOO в сообщении #739252 писал(а):
Если быть честным, то я это определение не очень понимаю т.к в книгах, которые открывал, данный закон звучит на много понятней и не уверен, что это определение равнозначно с стандартным определением в книгах по линейной алгебре и аналитической геометрии.
Давайте Вы приведете понятную Вам формулировку, а потом мы поробуем понять, что на самом деле это то же самое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое инерция квадратичных форм?
Сообщение21.06.2013, 21:10 


26/11/11
134
не уверен что то это, но по контексту я понял что это оно и есть
"Число положительных и число отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависят от базиса, в котором она приведена к каноническому виду"

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое инерция квадратичных форм?
Сообщение21.06.2013, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Допустим. Теперь давайте разбираться с формулировкой из конспекта. Слова в ней перепутаны очень интересным образом:
BAHOO в сообщении #739252 писал(а):
Любое симметричное конгруэнтное преобразование может привести к матрице вида $\operatorname{diag}\{I_{n+1}, -I_{n-1}, 0_{n_0}\}$.
У Вас есть идеи, что такое "симметричное конгруэнтное преобразование" и как оно может привести к матрице? Были вообще в курсе слова "конгруэнтное преобразование" и что они означают?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое инерция квадратичных форм?
Сообщение21.06.2013, 21:40 


26/11/11
134
Xaositect в сообщении #739261 писал(а):
Допустим. Теперь давайте разбираться с формулировкой из конспекта. Слова в ней перепутаны очень интересным образом:
BAHOO в сообщении #739252 писал(а):
Любое симметричное конгруэнтное преобразование может привести к матрице вида $\operatorname{diag}\{I_{n+1}, -I_{n-1}, 0_{n_0}\}$.
У Вас есть идеи, что такое "симметричное конгруэнтное преобразование" и как оно может привести к матрице? Были вообще в курсе слова "конгруэнтное преобразование" и что они означают?


ну идеи есть, раз конгруэнность матрицы $A$ и $B$ говорит о том, что можно одну выразить через другую с помощью другой матрицы $A=Q^{T}BQ$ , но дальше идея глупая совсем, может матрица $Q$ является Эрмитовой-самосапряженной, на сколько я помню, она симметричная т.е получится что-то вроде $A =QBQ$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое инерция квадратичных форм?
Сообщение21.06.2013, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
BAHOO в сообщении #739268 писал(а):
конгруэнность матрицы А и В говорит о том, что можно одну выразить через другую с помощью другой матрицы $A=Q^{T}BQ$
Так, давайте это запомним, а все остальное забудем, ибо бред.
Вот. Две матрицы $A$ и $B$ называются конгруэнтными, если $\exists Q: B = Q^T A Q$. Соответственно, конгруэнтное преобразование - это переход от матрицы $A$ к конгруэнтной ей матрице $Q^T A Q$.
Теперь давайте разберемся с матрицами. Вот у Вас в конспекте что-то про матрицы, а называется закон инерции квадратичных форм. Как связаны между собой квадратичные формы и матрицы, можете что-нибудь по этому поводу вспомнить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое инерция квадратичных форм?
Сообщение21.06.2013, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
BAHOO в сообщении #739252 писал(а):
На экзамене на ответе на закон инерции квадратичных форм, экзаменатор спросил меня "Что такое инерция?".

В математике такого понятия не вводится, а конкретные закидоны конкретных лекторов и экзаменаторов математикой не описываются.

В математике есть просто закон инерции, а что при этом под инерцией понимается - понимайте как хотите. Можете привести экзаменатору в доказательство Математическую Энциклопедию в 5 томах. (Там даны ещё понятия $(n_+,n_-)$ - сигнатура формы, и $n_-$ - индекс инерции. Иногда сигнатурой называется $n_+-n_-$. Пусть сам проверит: т. 2 ккол. 562-563.)

-- 21.06.2013 23:06:39 --

Впрочем, возможно, вопрос "Что такое инерция?" - это попытка уставшего экзаменатора достучаться до древесины головного мозга тупого экзаменуемого, с пятой попытки не могущего про закон инерции промямлить ничего внятного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое инерция квадратичных форм?
Сообщение21.06.2013, 22:14 


26/11/11
134
Munin в сообщении #739279 писал(а):
BAHOO в сообщении #739252 писал(а):
На экзамене на ответе на закон инерции квадратичных форм, экзаменатор спросил меня "Что такое инерция?".

В математике такого понятия не вводится, а конкретные закидоны конкретных лекторов и экзаменаторов математикой не описываются.

В математике есть просто закон инерции, а что при этом под инерцией понимается - понимайте как хотите. Можете привести экзаменатору в доказательство Математическую Энциклопедию в 5 томах. (Там даны ещё понятия $(n_+,n_-)$ - сигнатура формы, и $n_-$ - индекс инерции. Иногда сигнатурой называется $n_+-n_-$. Пусть сам проверит: т. 2 ккол. 562-563.)

-- 21.06.2013 23:06:39 --

Впрочем, возможно, вопрос "Что такое инерция?" - это попытка уставшего экзаменатора достучаться до древесины головного мозга тупого экзаменуемого, с пятой попытки не могущего про закон инерции промямлить ничего внятного.


как бы то нибыло, но на вопрос что такое "Инерция" отвечать придётся теперь мне т.к он на бумажке написал, попробую принести энциклопедию, может поможет

-- 21.06.2013, 23:21 --

Xaositect в сообщении #739278 писал(а):
BAHOO в сообщении #739268 писал(а):
конгруэнность матрицы А и В говорит о том, что можно одну выразить через другую с помощью другой матрицы $A=Q^{T}BQ$
Так, давайте это запомним, а все остальное забудем, ибо бред.
Вот. Две матрицы $A$ и $B$ называются конгруэнтными, если $\exists Q: B = Q^T A Q$. Соответственно, конгруэнтное преобразование - это переход от матрицы $A$ к конгруэнтной ей матрице $Q^T A Q$.
Теперь давайте разберемся с матрицами. Вот у Вас в конспекте что-то про матрицы, а называется закон инерции квадратичных форм. Как связаны между собой квадратичные формы и матрицы, можете что-нибудь по этому поводу вспомнить?



кажется я понял к чему хотите привести. К тому, что квадратичная форма в базисе имеет диагональный вид при условии что квадратичная форма отвечает уравнению $$k(\text{x})=\sum_\text{для всех $i$} {\epsilon_i (\xi^i)^2}$$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое инерция квадратичных форм?
Сообщение21.06.2013, 22:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое инерция квадратичных форм?
Сообщение21.06.2013, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
BAHOO в сообщении #739282 писал(а):
кажется я понял к чему хотите привести. К тому, что квадратичная форма в базисе имеет диагональный вид при условии что квадратичная форма отвечает уравнению
Ну вообще что-то похожее, но я не понимаю, что такое "квадратичная форма имеет диагональный вид", и кто такие $\epsilon_i$ и $\xi^i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое инерция квадратичных форм?
Сообщение21.06.2013, 22:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
BAHOO в сообщении #739282 писал(а):
К тому, что квадратичная форма в базисе имеет диагональный вид при условии что квадратичная форма отвечает уравнению $$k(\text{x})=\sum_\text{для всех $i$} {\epsilon_i (\xi^i)^2}$$

Только не сама форма имеет вид, а её матрица. И не "отвечает уравнению" (тут нет ни одного уравнения), а "задаётся выражением вида".

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое инерция квадратичных форм?
Сообщение21.06.2013, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое инерция квадратичных форм?
Сообщение21.06.2013, 23:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое инерция квадратичных форм?
Сообщение21.06.2013, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое инерция квадратичных форм?
Сообщение21.06.2013, 23:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group