многочлены над несчетными полями. топология Зарисского

[antonymil]

$F$-несчетное поле
$I_{i} \lhd F[x_{1},...,x_{n}]$
$F^{n}=\cup_{i=1}^{\infty}V(I_{i})$
$V(I_{i})\subseteq V(I_{i+1})$
Доказать, что $\exists k, V(I_{k})=F^{n}$
Все до чего пока я смог докопаться, это то, что все идеалы будут конечно порожденные по теореме Гильберта и базисе. Никак не могу понять какой именно смысл несет несчетность поля.
Как я понимаю для доказательства данного факта можно попробовать доказать следующее:
для счетной системы уравнение от $n$ переменных есть точка $a\text{ из }F^{n}$, которая не будет решением системы.

[apriv]

Предлагаю индукцию по $n$. Рассмотрите гиперплоскости в Вашем аффинном пространстве в огромном количестве (несчетном).

[antonymil]

apriv в сообщении #739190 писал(а):

Предлагаю индукцию по $n$. Рассмотрите гиперплоскости в Вашем аффинном пространстве в огромном количестве (несчетном).

Для $n=1$ следует из того, что у нас многочлен от $n$ переменных может иметь только конечное число корней а поле несчетно.
Пусть для $k-1$ верно.
$n=k$ Тогда каждый многочлен от $k$ переменных имеет коэф-т , являющийся многочленом от $k-1$ перменной. В этом случае зафиксировав этот набор из $k-1$ чисел не обнуляющих систему мы получили случай 1 переменной, который выполнен. То есть предположение верно и для $k$.
Как-то так?

-- 21.06.2013, 19:39 --

И тогда первое утверждение как раз и следует из того, что множество $V$ определено конечной системой уравнений. Или их объединение будет счетная система. Да?

[apriv]

antonymil в сообщении #739192 писал(а):

Пусть для $k-1$ верно.
$n=k$ Тогда каждый многочлен от $k$ переменных имеет коэф-т , являющийся многочленом от $k-1$ перменной. В этом случае зафиксировав этот набор из $k-1$ чисел не обнуляющих систему мы получили случай 1 переменной, который выполнен. То есть предположение верно и для $k$.

Ничего не понял. Какой набор из $k-1$ чисел? не обнуляющих какую систему? что получили? Я предлагал вовсе не это.

[antonymil]

apriv в сообщении #739195 писал(а):

antonymil в сообщении #739192 писал(а):

Пусть для $k-1$ верно.
$n=k$ Тогда каждый многочлен от $k$ переменных имеет коэф-т , являющийся многочленом от $k-1$ перменной. В этом случае зафиксировав этот набор из $k-1$ чисел не обнуляющих систему мы получили случай 1 переменной, который выполнен. То есть предположение верно и для $k$.

Ничего не понял. Какой набор из $k-1$ чисел? не обнуляющих какую систему? что получили? Я предлагал вовсе не это.

Это я про второе утверждение про счетную систему. Не совсем понял что именно вы предлагаете.

[apriv]

antonymil в сообщении #739196 писал(а):

Это я про второе утверждение про счетную систему

Ну так вот и поясните:

antonymil в сообщении #739192 писал(а):

В этом случае зафиксировав этот набор из k-1 чисел не обнуляющих систему

— не обнуляющих какую систему? Исходная система состоит из многочленов от $k$ переменных. Как набор из $k-1$ чисел может ее «обнулять» или не «обнулять»?

-- 21.06.2013, 20:01 --

antonymil в сообщении #739196 писал(а):

Не совсем понял что именно вы предлагаете.

Рассмотреть много гиперплоскостей в аффинном пространстве, для каждой гиперплоскости пересечь все данные многообразия с ней, применить предположение индукции. Заключить отсюда, что исходный набор многообразий обладает какими-то удивительными свойствами.

[antonymil]

Во 2 утверждении речь идет о любой счетной системе многочленов.

-- 21.06.2013, 20:03 --

Во второй части ответы вы просто перифразировали вопрос. Не могли бы вы дать хоть какую нибудь более конкретную подсказку. Именно о том что интересного в несчетном поле я и не могу додуматься.

[apriv]

antonymil в сообщении #739202 писал(а):

Во второй части ответы вы просто перифразировали вопрос. Не могли бы вы дать хоть какую нибудь более конкретную подсказку. Именно о том что интересного в несчетном поле я и не могу додуматься.

Конкретнее некуда. Если поле несчетное, то можно найти несчетное количество гиперплоскостей, и после применения индукционного предположения окажется, что некоторое многообразие из исходных содержит несчетное количество из этих гиперплоскостей.

[antonymil]

Из чего получается последнее утверждение о том что будет содержать несчетное количество из этих плоскостей

[apriv]

antonymil в сообщении #739220 писал(а):

Из чего получается последнее утверждение о том что будет содержать несчетное количество из этих плоскостей

Из предположения индукции. Многообразий счетное число, и каждая гиперплоскость содержится в одном из них.