Задачка. Найти зависимость между а, b,c (система уравнений)

[KiberMath]

Найти зависимость меджду а, b, c, если существуют такие x и у, что

$a=x+y$
$b=x^2+y^2$
$c=x^3+y^3$ исправил

Как к этому подойти?

Там же если составлять систему из этих трех уравнений и решать ее, то
$ \left\{ \begin{array}{l} x=a-y,\\ b=(a-y)^2+y^2,\\ c=x^3+y^3, \end{array} \right. $

и у может принимать 2 значения, удовлеторяющее 2-му уравнению. Как быть?

Удивительно, но какой бы корень я не взял всеравно получаеться один и тот же и причем правильный ответ =)

[Алексей К.]

Условие действительно правильно записано???
Первая фраза ("если существуют") выглядит сомнительно.

Может, на самом деле так:

Цитата:

Найти зависимость меджду а, b, c, если
$a=x+y$
$b=x^2+y^2$
$c=x^3(\mbox{в кубе!})+y^3$

?

KiberMath писал(а):

Удивительно, но какой бы корень я не взял всеравно получаеться один и тот же и причем правильный ответ =)

Взял корень чего? Что значит "правильный ответ"?
Это призыв писать яснее.

[KiberMath]

Алексей К.

Условие перепечатано верно.

При решении получившейся системы я получил
$ \left\{ \begin{array}{l} x=a-y,\\ b=(a-y)^2+y^2,\\ c=x^3+y^3, \end{array} \right. $

Из второго уравнения пытался выразить y

$ \left\{ \begin{array}{l} x=a-y,\\ 2y^2-2ay+a^2-b=0,\\ c=x^3+y^3, \end{array} \right. $

второе уравнение имеет 2 корня ...

$y_{1,2}=\frac{2a\pm\sqrt{2b-a^2}}{2}

И вот я сомневался какой из них взять... Оказалось оба подходят (получаеться ответ, напечатанный в задачнике)

[AD]

(Предполагаю, что там действительно $x^3$, посмотрите самую свою первую формулу и исправьте, что ли (все, исправили).)

Ну ход решения правильный. Какой корень брать - действительно не важно.

Я шел немного с другого конца, и там все так устроено, что если $y$ - один корень, то $x$ - другой. У меня:
$c=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=a(b-xy)=a(b-(a-y)y)$,
$y=\frac a2\pm\sqrt{\frac{a^2}4-b+\frac{c}{a}}$, тогда
$x=a-y=\frac a2\mp\sqrt{\frac{a^2}4-b+\frac{c}{a}}$,
и подставил это во второе уравнение, и "$\pm$" сократилось с "$\mp$".
У меня получилось $3ab=a^3+2c$, что можно было и угадать.

Забавно посоображать, почему нет других соотношений.[/quote]

[Алексей К.]

Допустим, условие перепечатано верно

KiberMath писал(а):

$a=x+y$
$b=x^2+y^2$
$c=x^2(\mbox{ у Вас здесь квадрат})+y^3$

за исключением этой опечатки. Вину за нелогичность возложим на составителя.
Попробуйте всё же почувствовать разницу между Вашим условием и предложенным мной
(я просто выбросил неправильный кусок фразы).

Теперь ---
$$c=x^3+y^3=(\underbrace{x+y}_a)(\underbrace{x^2+y^2}_b-xy)$.
Осталось что-то сделать с $xy$. А попробуйте сосчитать, чему равно $a^2-b$... и доделать до конца...

[KiberMath]

Алексей К.
Ух-ты! Круто!
А я тупо скобочки раскрывал, решая систему, а тут так все очевидно =)

[Алексей К.]

Впрочем, может я перекритиковал составителя...
Подразумевается, --- найти зависимость между $a,b,c$, если для любой тройки $a,b,c$ существует пара $x,y$... Типа я сам должен был догадаться...

[AD]

Алексей К. писал(а):

Впрочем, может я перекритиковал составителя...
Подразумевается, --- найти зависимость между $a,b,c$, если для любой тройки $a,b,c$ существует пара $x,y$... Типа я сам должен был догадаться...

Ну условие как всегда, дано двумерное многообразие, заданное параметрически, то есть для всех пар (x,y) вычисляются точки
$\left\{\begin{aligned}a=a(x,y),\cr b=b(x,y),\cr c=c(x,y);\end{aligned}\right.$
надо переписать в виде неявной функции $F(a,b,c)=0$.

Алексей К. писал(а):

... А попробуйте сосчитать, чему равно $a^2-b$ и доделать до конца...

Это объясняет, как можно было угадать. Конечно, эту задачу только так и нужно решать. Но есть и другие задачи.

[Алексей К.]

Просто из трёх вариантов ---
(1) Найти зависимость между а, b, c, если $a=x+y,\:\ldots$
(2) Найти зависимость между а, b, c, если существуют такие x и у, что $a=x+y,\:\ldots$
(3) Найти зависимость между а, b, c, если для любых $a,b,c$ существуют такие x и у, что $a=x+y,\:\ldots$
выбранный --- ни сокращённый, ни полный --- совсем неудачный.

[AD]

Да-да-да.