Ковер Серпинского.

[justonequestion]

Здравствуйте. На первой итерации извлекается 1 квадрат, на второй 8, на третьей 64 и тд. Извлекаются ли таким образом все точки исходного квадрата в пределе?

[ИСН]

Человеку продали очень дырявое множество. Он взвешивает его - оно ничего не весит. Пробует потрогать - рука проходит сквозь.
- Так что же я получил за свои деньги? Пустоту?
Нет. Какие-то точки там определённо останутся. Например, никуда не девается точка (0,0).

[ewert]

justonequestion в сообщении #739030 писал(а):

Здравствуйте. На первой итерации извлекается 1 квадрат, на второй 8, на третьей 64 и тд. Извлекаются ли таким образом все точки исходного квадрата в пределе?

А Вы знаете ответ на аналогичный одномерный вопрос -- про канторово множество?...

[justonequestion]

Спасибо за ответ. То есть, после достаточно большого числа итераций ковер приобретет устойчивый узор?

Цитата:

А Вы знаете ответ на аналогичный одномерный вопрос -- про канторово множество?...

Нет, но предположу, что останутся.

[ewert]

justonequestion в сообщении #739034 писал(а):

Нет, но предположу, что останутся.

Не знаете -- погуглите про это множество. Дело в том, что в одномерном случае остаток описывается вполне конструктивно и просто.

[svv]

justonequestion писал(а):

Извлекаются ли таким образом все точки исходного квадрата в пределе?

Если записать координаты точки $x, y$ в виде бесконечной троичной дроби, то правило звучит так: выбрасываются все точки, у которых и $x$, и $y$ имеют единицу в одном и том же разряде.