Помогите пожалуйста решить уравнение в вариациях.

[Migel]

Для уравнения $\ddot x + \sin x = A$ и начальных условий $ x(0, A) = \dot x(0, A) = 0$ надо составить уравнения в вариациях и решить их
Помогите пожалуйста кто может.

[Аурелиано Буэндиа]

Это очень просто. Посмотрите здесь лекцию 69. Если будет непонятно я помогу

[Migel]

спасибо,
правда не сосем понятно.

вот, что у меня получилось:
$\psi(t) = \frac{\partial x}{\partial A} ; \frac{\partial \psi (t)}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial x}\psi (t);$
невозмущённое решение: $( A = 0; \ddot x = -x; \psi (t) = \cos t)$;
решение уравнений: $\frac{\partial\psi}{\partial t} = (-\frac A {\sin t} + \frac {\dot x{\sin x}} {\sin t})\cos t; \int {d\psi (t)} = \int {\frac {A{\cos t}} {-\sin t}} dt + \int {\frac {\dot x{\cos t}{\sin t}} sin t}dt; \psi (t) + C_1= -\int {A\ctg t} dt + \int {\dot x\sin x\ctg t} dt; \psi (t) + C_1 = - A\ln\left| \sin t \right| + C_2$
вроде так,
но я был бы Вам очень благодарен, если бы Вы объяснили, что неправильно..
P.S. ..неправильно в плане составления уравнений и их решения

[Аурелиано Буэндиа]

Я не очень понял что Вы написали. Мне кажется, Ваше изложение несколько сумбурно. Нужно придерживаться следующего плана:
1) сводим к ДУ 1-го порядка, заменой $y=\dot{x}$. У Вас получается система 2-х уравнений 1-го порядка
$ \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=y \\ \dot{y}=A-\sin(x) \end{array} \right.$
2) У нас по прежнему нелинейное уравнение, а нелинейные уравнения (не это конечно!) решаются точно очень редко. Но, на практике, часто достаточно знать поведение решения в окрестности одной точки - положения равновесия. А это сильно упрощает жизнь. Иногда достаточно линеаризовать нелинейность. Грубо говоря, разлагают нелинейность в ряд в окрестности состояния равновесия и оставляют только линейные слагаемые. В вашем случае точка равновесия $y=0$ и $x=\hbox{arcsin}(A)$, поэтому, если ввести новую переменную $z=x-\hbox{arcsin}(A)$, то линеаризованная система принимает вид
$ \left\{ \begin{array}{l} \dot{z}=y \\ \dot{y}=-\sqrt{1-A^2}z \end{array} \right.$
Эта система называется уравнениями в вариациях в окрестности положения равновесия.
3) Осталось её решить с вашими начальными данными. Конечно, можно свести её к ДУ с одной переменной и т.д.
Р.С. Гм. Глядя на Ваше решение у меня возникает вопрос правильно ли я понял, то что Вам нужно. Подумайте и решите подходит ли вам то что я написал.

[Migel]

Спасибо за подробный ответ.
Я действительно неправильно представлял себе решение.
Оказалось всё намного проще
Ещё раз большое спасибо