2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите пожалуйста решить уравнение в вариациях.
Сообщение08.01.2006, 21:26 
Аватара пользователя


08/01/06
3
Москва
Для уравнения $\ddot x + \sin x = A$ и начальных условий $ x(0, A) = \dot x(0, A) = 0$ надо составить уравнения в вариациях и решить их :cry:
Помогите пожалуйста кто может.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.01.2006, 00:40 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Это очень просто. Посмотрите здесь лекцию 69. Если будет непонятно я помогу

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.01.2006, 23:30 
Аватара пользователя


08/01/06
3
Москва
спасибо,
правда не сосем понятно.

вот, что у меня получилось:
$\psi(t) = \frac{\partial x}{\partial A} ;
\frac{\partial \psi (t)}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial x}\psi (t);$
невозмущённое решение: $( A = 0; \ddot x = -x; \psi (t) = \cos t)$;
решение уравнений: $\frac{\partial\psi}{\partial t} = (-\frac A {\sin t} + \frac {\dot x{\sin x}} {\sin t})\cos t;
\int {d\psi (t)} = \int {\frac {A{\cos t}} {-\sin t}} dt + \int {\frac {\dot x{\cos t}{\sin t}} sin t}dt;
\psi (t) + C_1= -\int {A\ctg t} dt + \int {\dot x\sin x\ctg t} dt;
\psi (t) + C_1 = - A\ln\left| \sin t \right| + C_2$
вроде так,
но я был бы Вам очень благодарен, если бы Вы объяснили, что неправильно.. :oops:
P.S. ..неправильно в плане составления уравнений и их решения

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.01.2006, 19:33 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Я не очень понял что Вы написали. Мне кажется, Ваше изложение несколько сумбурно. Нужно придерживаться следующего плана:
1) сводим к ДУ 1-го порядка, заменой $y=\dot{x}$. У Вас получается система 2-х уравнений 1-го порядка
$
\left\{ \begin{array}{l}
\dot{x}=y \\
\dot{y}=A-\sin(x) 
\end{array}
\right.$
2) У нас по прежнему нелинейное уравнение, а нелинейные уравнения (не это конечно!) решаются точно очень редко. Но, на практике, часто достаточно знать поведение решения в окрестности одной точки - положения равновесия. А это сильно упрощает жизнь. Иногда достаточно линеаризовать нелинейность. Грубо говоря, разлагают нелинейность в ряд в окрестности состояния равновесия и оставляют только линейные слагаемые. В вашем случае точка равновесия $y=0$ и $x=\hbox{arcsin}(A)$, поэтому, если ввести новую переменную $z=x-\hbox{arcsin}(A)$, то линеаризованная система принимает вид
$
\left\{ \begin{array}{l}
\dot{z}=y \\
\dot{y}=-\sqrt{1-A^2}z 
\end{array}
\right.$
Эта система называется уравнениями в вариациях в окрестности положения равновесия.
3) Осталось её решить с вашими начальными данными. Конечно, можно свести её к ДУ с одной переменной и т.д.
Р.С. Гм. Глядя на Ваше решение у меня возникает вопрос правильно ли я понял, то что Вам нужно. Подумайте и решите подходит ли вам то что я написал.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.01.2006, 21:00 
Аватара пользователя


08/01/06
3
Москва
Спасибо за подробный ответ.
Я действительно неправильно представлял себе решение.:oops:
Оказалось всё намного проще :wink:
Ещё раз большое спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group