integral((1-x^4)^(1/4))=?

[Борис Лейкин]

Люди, чему этот интеграл то равен, а?: $\int ({1-x^4})^{\frac14} dx$

integrals.wolfram.com/ даёт $\dfrac12 x (F2_1(\dfrac14,\dfrac34;\dfrac54;x^4)+(1-x^4)^{\frac14})$,
где $F2_1(a,b,c,x)$ - Gauss hypergeometric function F2_1

Вот.
А я чего придумал.
Нельзя ли этот интеграл как-нибудь выразить
по аналогии с $\int ({1-x^2})^{\frac12} dx=\dfrac12(\sqrt{1-x^2}x+\sin^{-1}{x})$
через следующуи функцуи(или обратные к ним)?
Назовём их syn(x)- сЫнус и cosyn(x) - косЫнус.
$syn(x)^4+cosyn(x)^4=1$
они выражаются через тригонометрические синус и косинус
$syn(x)=\dfrac{\sin x}{(\sin^4{x}+cos^4{x})^{\frac14}}$
$cosyn(x)=\dfrac{\cos x}{(\sin^4{x}+cos^4{x})^{\frac14}}$
графики похожи на синус и косинус но только более квадратные.
Обратные функции я пока не придумал как написать, наверное легко.
Также можно ввести по аналогии c экспонентой и гиперболическими функциями:
Гиперболический сынус и косынус:
$synh(x)=-isyn(ix)$
$cosynh(x)=cosyn(ix)$
Ыкспонента:
$yxp(x)=cosynh(x)+synh(x)$

Ну и естественно по аналогии можно также придумать
сонус и косонус $son(x)^6+coson(x)^6=1$
$son(x)=\dfrac{\sin x}{(\sin^6{x}+cos^6{x})^{\frac16}}$
$coson(x)=\dfrac{\cos x}{(\sin^6{x}+cos^6{x})^{\frac16}}$
санус и косанус $san(x)^8+cosan(x)^8=1$
$san(x)=\dfrac{\sin x}{(\sin^8{x}+cos^8{x})^{\frac18}}$
$cosan(x)=\dfrac{\cos x}{(\sin^8{x}+cos^8{x})^{\frac18}}$
сянус и косянус $syan(x)^{100}+cosyan(x)^{100}=1$
$syan(x)=\dfrac{\sin x}{(\sin^{100}{x}+cos^{100}{x})^{\frac{1}{100}}}$
$cosyan(x)=\dfrac{\cos x}{(\sin^{100}{x}+cos^{100}{x})^{\frac{1}{100}}}$

ну и так далее сколько угодно.
нигде вроде не ошибся

Вопрос, есть ли от них какая-нибудь польза, от этих спыциальных функций или нет?
(У меня голова чё то опять не работает, поэтому решил спросить (так бы я сам конечно наверное ответил и спрашивать не стал))

Гиперболические косынус и сынус, кстати, не похожи ли на солитоны?

[AD]

В элементарных функциях эта штука не выражается. Как нас учит Демидович, интеграл

$$\int x^m(a+bx^n)^p\,dx$$

считается в элементарных функциях лишь в трех случаях:

1. $p\in\mathbb{Z}$ - тогда замена $x=t^N$, где $N$ - общий знаменатель дробей $m$ и $n$

2. $\frac{m+1}{n}\in\mathbb{Z}$ - тогда замена $a+bx^n=t^N$, где $N$ - знаменатель $p$.

3. $\frac{m+1}{n}+p\in\mathbb{Z}$ - тогда замена $ax^{-n}+b=t^N$, где $N$ - знаменатель $p$.

Так что видимо ничего лучше Вольфрама сказать не получится.

Функции очень естественные - напоминают об окружностях на $\mathbb{R}^2$ с нормой $\|\ \|_i$, где $i=4,6,8,\ldots,100$.

В солитонах не разбираюсь - sorry.

[Yuri Gendelman]

Борис Лейкин писал(а):

integrals.wolfram.com/ даёт $\dfrac12 x (F2_1(\dfrac14,\dfrac34;\dfrac54;x^4)+(1-x^4)^{\frac14})$

А чем

$$ _2 F_1(\dfrac 14,\dfrac 34;\dfrac 54;x^4)$$

хуже сынуса или сянуса?
Аналитическим свойствам гипергеометрической функции посвящена не одна монография. В вычислительной практике можно использовать вот этот алгоритм на Algol-60: Relph A.P., CACM, 1963(7), algorithm 191. Он же: М.И.Агеев, В.П.Алик, Ю.И.Марков, Библиотека алгоритмов 151б-200б, М., "Советское Радио", 1981. Он же на C и Fortran: http://www.srcc.msu.su/num_anal/lib_na/cat/cat655.htm

Борис Лейкин писал(а):

ну и так далее сколько угодно.

В том то и дело.
В какой-то книге я читал о том, что в истории матфизики был период увлечения спец-фунциями. С их помощью были решены некоторые старые задачи. Но вскоре выяснилось, что новые задачи требуют все новых и новых спецфункций.

[Борис Лейкин]

Вот тут картинки
Вот этот график гиперболического сынуса солитонопохожий (я правда тоже не очень знаю, что такое солитоны)

Yuri Gendelman писал(а):

А чем

$$ _2 F_1(\dfrac 14,\dfrac 34;\dfrac 54;x^4)$$

хуже сынуса или сянуса?

Ни чем не хуже, я просто её боюсь. Хотя сдается мне, что это и есть арксЫнус.
Хотя вообще то может и нет, арксынус выражается через арксинус, вроде так :
если сынус $syn(x)=\dfrac{\sin(x)}{\sqrt[4]{\sin^4(x)+\cos^4}}$,
то арксынус $arcsyn(y)=\arcsin{\left(\sqrt{\dfrac{y^4-y^2\sqrt{1-y^4}}{2y^4-1}}\right)}$

[Борис Лейкин]

Слушайте, а можно эти функции использовать по аналогии с рядами(преобразованиями) Фурье? (Зачем только, я не знаю)

[AD]

Борис Лейкин писал(а):

а можно эти функции использовать по аналогии с рядами(преобразованиями) Фурье?

А может быть, и можно ... только я бы хотел понять, что они ортогональные ... в каком-нибудь естественном смысле.

[Борис Лейкин]

Заодно ещё назову зинус, козинус и экзпоненту
зинус и козинус $zin(x)^{\infty}+cozin(x)^{\infty}=1$
$zin(x)=\dfrac{\sin x}{(\sin^{\infty}{x}+cos^{\infty}{x})^{\frac{1}{\infty}}}$
$cozin(x)=\dfrac{\cos x}{(\sin^{\infty}{x}+cos^{\infty}{x})^{\frac{1}{\infty}}}$

Yuri Gendelman писал(а):

Но вскоре выяснилось, что новые задачи требуют все новых и новых спецфункций.

А некое Галуа тут причем, интересно, или совсем ни при чём?

[Борис Лейкин]

Борис Лейкин писал(а):

Слушайте, а можно эти функции использовать по аналогии с рядами(преобразованиями) Фурье? (Зачем только, я не знаю)

Вобщем, если нельзя, то это означает, что коэффициенты в таком ряде
$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n syn(nx)+b_n cosyn(nx))$ определяются неоднозначно, правильно?

[AD]

А в дискуссионном разделе половина постов посвящена нахождению таких углов $0<\alpha<\pi/2$, что и $\text{sюn}\alpha$ и $\text{cosюn}\alpha$ одновременно рациональны .