МФТИ-85

[Rasool]

Задача из вступительного задания в ЗФТШ 1985-го года по математике №3:

Натуральное число оканчивается на 3. Если эту цифру переставить в начало числа, то оно удвоится. Найдите наименьшее такое число.

Из условия имеем (пусть a и n - натуральные):
$2(10a+3)={3}\cdot{10^n}+a$,
где $10^{n-1} \leqslant a < 10^n$,
отсюда
$10^{n-1} \leqslant a =\frac {6}{19}\cdot{({5}\cdot{10^{n-1}}-1)} < 10^n$,
отсюда имеем неравенства: $ n \geqslant \log_{10} \frac{60}{11} $, $ n > \log_{10} \frac{3}{11} $.
Где моя ошибка?

[Shadow]

$2(10a+3)=3\cdot 10^n+a\\$

$a=\dfrac{3(10^n-2)}{19}$

$10^n \equiv 2 \pmod {19}$

$n=17+18k ,a=15789473684210526$

Значит наименьшее такое $157894736842105263$

[Rasool]

Спасибо за решение, я сначала пошел правильным путем, но застрял на $10^n \equiv 2 \pmod {19}$.