Численные методы решения ФДУ

[mnimm]

Имеется функционально-дифференциальное уравнения вида
$x'(t)=f(t,x(t),x_{t}) где характер зависимости от предыстории значений x представляется в форме бесконечного интеграла $x'(t)=f(t,x(t),x_{t})=g(t,x(t),\int \limits _{-\infty}^{t}x(s)ds). Сама задача:требуется составить алгоритм численного решения такого уравниния. Вопрос: но как это сделать если интеграл бесконечный? Везде в литературе либо либо упоминаются конечные интегралы $x'(t)=f(t,x(t),x_{t})=g(t,x(t),\int \limits _{-a}^{t}x(s)ds) ,либо рассматриваются ОДУ с простым запаздыванием в качестве примеров.

[svv]

Если значение $x'(t)$ в текущий момент существенно зависит от значений $x(s)$ в эпоху древних римлян и греков, это плохо.

Часто под интегралом есть ещё ядро $K(t, s)$, которое быстро стремится к нулю при $t-s\to\infty$ и сводит на нет зависимость от далёкого прошлого, но у Вас его нет (вернее, $K=1$).

В таком случае выберите некий начальный момент $t=a$ и считайте заданным $x_a=\int\limits_{-\infty}^a x(s)\;ds$. Это начальное условие Вашей задачи, от него зависит, какое получится решение. Тогда $x_t=x_a+\int\limits_a^t x(s)\;ds$.

Почему Вы используете две различных функции, $f$ и $g$? Разве они чем-то отличаются? Вы же просто подставили вместо $x_t$ его выражение через интеграл.