Доказать, что нельзя получить преобразование Лапласа

[swagastr]

Здравствуйте. Есть дифференциальное уравнение: $TdL(t)/dt+L(t)-RL^2=KF(t)$, где T,K,R - постоянные коэффициенты. Для данного уравнения нужно найти передаточную функцию(отношение изображения выходного сигнала к входному $-Lap(L)/Lap(F)$ , то есть преобразовать по Лапласу. Вот что я делаю - $T[sLap(L)-L(0)]+lap(L)-RLap(L^2)=KL(F) или TsLap(L)+Lap(L)-RLap(L^2)=KLap(F)$ . Далее, нужно выразить отсюда Lap(L)/Lap(F), это сделать нельзя, поскольку присутствует $L^2$. Это нужно доказать, преобразовав $L^2$ по Лапласу с помощью интеграла и показав что его нельзя взять. Как это сделать?

[swagastr]

up. неужели никто не знает как взять $L^2$ через интеграл по Лапласу?

[svv]

Посмотрите где-нибудь что-то вроде:
Преобразование Лапласа от произведения (теорема о свёртке).

В любом случае Ваша "передаточная функция" будет иметь мало смысла, так как будет зависеть от внешнего воздействия в силу нелинейности уравнения.

[swagastr]

да, это понятно что для нелинейного диф. уравнения передаточную функцию не получить. Нужно это показать математически.
ну, я знаю теорему о свертке, но причем здесь произведение?

[svv]

Ну, она же там в обе стороны: преобразование свертки есть произведение, а преобразование произведения есть свертка. Вам нужен этот второй вариант. Только, в отличие от преобразования Фурье, для преобразования Лапласа, кажется, там не так симметрично.

(может, Вы не поняли, что $L^2$ -- это произведение $L$ и $L$?)

[swagastr]

хах, да)
ну допустим я получу $\int(e^{-st}Ldt)\int(e^{-st}Ldt)$ а дальше что? как доказать, что они не берутся?

[svv]

Ну, такого точно не получится, а получится свёртка.
Посмотрите Корн, "Справочник по математике", пункт 8.3.3.

[swagastr]

Спасибо, нашел. В википедии совсем другое представление. Только вот что теперь с этим делать даже представить не могу

[svv]

swagastr писал(а):

В википедии совсем другое представление.

Вы не эту ли формулу имели в виду?:
$\mathcal{L}\{f(x)*g(x)\}=\mathcal{L}\{f(x)\}\cdot\mathcal{L}\{g(x)\}.$
Так это не для Вашего случая. Здесь свёртка оригиналов (значок $*$), а у Вас произведение.

А про обратную ситуацию (преобразование произведения оригиналов равно свёртке изображений) в Википедии ещё не написали.

А делать ничего не надо. Надо посмотреть на то, что получилось после применения формулы из Корна, и сказать: "Всё, капец. Было нелинейное дифференциальное уравнение, стало нелинейное интегральное. Таким путём упрощения (для чего и применяется преобразование Лапласа) не получится."

[Oleg Zubelevich]

уравнение Риккати кстати в квадратурах, вообще говоря, не интегрируется, что хорошо известно

[swagastr]

А что за переменные l,z,лямда? Получается нелинейным типо потому, что там тоже произведений функций?) То есть интеграл никак не взять, нужно просто посмотреть на его вид и по нему объяснить?

[svv]

Да, нелинейное -- потому, что там $L$ умножается на $L$.
А интеграл не взять потому, что $L$ неизвестная величина.
Для сравнения: если бы не было $L^2$, мы бы получили для изображения сигнала обычное (не дифференциальное) уравнение.

[swagastr]

хорошо)
Я понимаю, что L(t) - оригинал, L(s)- его изображение по Лапласу. Но что такое L(z) в формуле свертки?
L же не величина , а функция L(t). или этот интеграл не для каких случаев не берется? я не понимаю

[svv]

Вообще-то я должен был сразу сказать, что у Вас очень неудачные обозначения. Преобразование Лапласа обозначается $\mathcal L$, а $L$ у Вас сигнал, а сейчас Вы к тому же используете одну букву $L$ для оригинала и изображения.

Раз Вы спрашиваете про обозначения в справочнике Корна, мы забываем про $L$ вообще. Есть только:
сигнал $f(t)$ (оригинал)
его изображение $F(s)$
при этом $F=\mathcal L f$, т.е. оригинал переводится в изображение оператором $\mathcal L$.

Формула свёртки даёт изображение сигнала $f_1(t) f_2(t)$, через изображения $F_1=\mathcal L f_1, F_2=\mathcal L f_2$. Это изображение, т.е. записанный определенный интеграл, есть функция $s$. Интеграл есть свёртка $F_1$ и $F_2$, то есть интеграл от произведения $F_1(z)$ и $F_2(s-z)$ в указанных пределах. Здесь $z$ -- некоторая переменная, она нужна, чтобы записать аргументы этих функций. Как видите, они разные. Результат от $z$ уже не зависит.

[swagastr]

В итоге после интегрирования мы получим опять таки квадратичную зависимость?