Задача на динамические системы

[likusta]

Задача: Докажите, что десятичная запись числа $2^n$ может начинаться с любой заранее заданной конечной комбинации цифр.
Идея решения: Рассмотрим функцию $f(x)=2x$, если $0,1<x \le 0,5$ и $f(x)=x/5$, если $0,5 <x\le 1$. Пусть $x_0=1$, $x_1=f(x_0)$, ..., $x_n=f(x_{n-1})$,... . Получили эквивалентную задачу, теперь хотим доказать, что замыкание $X=\{x_n|n=0,1,2,3,...\}$ даст нам $[0,1;1]$.
Не получается доказать это, помогите пожалуйста.

[Ales]

Надо отождествить 0.1 и 1, и тем самым перейти к окружности.
Тогда $f$ - гомеоморфизм окружности (непрерывное, взаимно-однозначное отображение окружности на себя, обратное тоже непрерывно).
Доказать, что орбита $f^n(1)$ состоит из бесконечного числа точек (использовать свойства $f$).
Воспользоваться принципом Дирихле (ящики - кролики) для доказательства,
что существуют сколь угодно близкие точки орбиты и
что поэтому замыкание орбиты совпадает с окружностью (стандартный прием).

[likusta]

Ales в сообщении #737233 писал(а):

Надо отождествить 0.1 и 1, и тем самым перейти к окружности.
Тогда $f$ - гомеоморфизм окружности (непрерывное, взаимно-однозначное отображение окружности на себя, обратное тоже непрерывно).
Доказать, что орбита $f^n(1)$ состоит из бесконечного числа точек (использовать свойства $f$).
Воспользоваться принципом Дирихле (ящики - кролики) для доказательства,
что существуют сколь угодно близкие точки орбиты и
что поэтому замыкание орбиты совпадает с окружностью (стандартный прием).

Большое Вам спасибо! У меня все вышло кроме самого главного, доказать, что замыкание орбиты совпадает с окружностью.

[Ales]

likusta в сообщении #737274 писал(а):

Большое Вам спасибо! У меня все вышло кроме самого главного, доказать, что замыкание орбиты совпадает с окружностью.

Ну да, я тоже не знаю как доказать замыкание (из-за растяжения в 2 раза).
Тогда надо сделать по другому:
взять десятичный логарифм (придумать обоснование),
и вместо умножения на 2 будет прибавление $\log 2$ - иррационального числа (надо доказать).
Мы интересуемся только дробной частью десятичного логарифма (доказать).
Опять же перейдем к окружности, и применим принцип Дирихле.
Здесь только поворот без растяжений - орбита всюду плотна.

-- Вс июн 16, 2013 15:42:30 --

Или просто перевести десятичным логарифмом Вашу окружность в окружность, на которой гомеоморфизм будет поворотом на иррациональный угол $\log 2$.