Задача Гюйгенса, решённая Лейбницем

[Ktina]

Читаю сейчас про Лейбница и его вклад в развитие дифференциального исчисления:

Цитата:

На изучение Лейбницем математики большое влияние оказал Гюйгенс. Последний предложил задачу определения суммы чисел, обратных треугольным...
...Но на решении этой задачи Лейбниц не остановился, он нашел также сумму чисел, обратных пирамидальным...

Захотелось попробовать самой.
С треугольными, кажется, справилась.

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2}{n\cdot (n+1)}=2\cdot\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n\cdot (n+1)}$$

Сумму

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n\cdot (n+1)}$$

можно представить в виде

$$\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\dots =1$$

И тогда сумма всех чисел, обратных треугольным, равна 2.

А что с пирамидальными делать?
Это какие вообще?

$$\frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}$$

Эти, что ли?

[Otta]

Эти. Только скобочки раскрывать - это лишнее.

[Ktina]

Otta в сообщении #737248 писал(а):

Эти. Только скобочки раскрывать - это лишнее.

Почему лишнее?

[Otta]

А хуже складывать.

(Оффтоп)

И вообще.
Меня в детстве учили, что скобочки раскрывать - это дурной тон. Хороший тон - это их собирать. Не абсолютное правило, конечно, но чаще всего так и получается.

[Ktina]

Пирамидальные, оказывается, разными бывают, в зависимости от угольности основания пирамиды.
По всей видимости, Лейбниц имел в виду вот это:

$$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$

[Otta]

Ktina в сообщении #737264 писал(а):

Пирамидальные, оказывается, разными бывают, в зависимости от угольности пирамиды.

Дык и треугольники не все с Вашими параметрами. :) Там ведь речь о шариках, укладываемых в треугольники, а не о площадях треугольников.

Будем считать пока, что эти. Кстати, какой "угольности" они соответствуют? Явно это не квадратные пирамидальные.

[svv]

$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ -- это, скорее, тетраэдрические.
А чем хуже собственно пирамидальные (к-во шариков в пирамиде с квадратным основанием)? Соответствующий ряд не сворачивается телескопически?

[Otta]

svv в сообщении #737269 писал(а):

это, скорее, тетраэдрические.

Не скорее, а в точности.
Квадратные пирамидальные ничем не хуже. И не лучше. Просто сумма другая.
И пусть уже Ktina сама-сама. Весь кайф отнимем у человека.

[Ktina]

Otta в сообщении #737270 писал(а):

И пусть уже Ktina сама-сама. Весь кайф отнимем у человека.

Можно намёк? Полунамёк?

[Otta]

А что складываем? обратные к каким?
Хотя неважно. Прием тот же, что и с треугольными. Кстати, как он называется? что это мы такое проделали с каждым слагаемым ряда?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #737279 писал(а):

Можно намёк? Полунамёк?

Биномиальные коэффициенты.

[Otta]

Да можно и без них, дело хозяйское.