Помогите, пожалуйста, взять коммутатор.

[lucien]

zask в сообщении #736193 писал(а):

А не подскажете, где прочитать что такое буквы?

В букваре.

[zask]

lucien в сообщении #736197 писал(а):

zask в сообщении #736193 писал(а):
А не подскажете, где прочитать что такое буквы?
В букваре.

Премного благодарен Ваше с-во!

[Munin]

lucien в сообщении #736188 писал(а):

Что такое матрицы прочитайте в учебнике по линейной алгебре.

Я прочитал, что единственная матрица, которая со всеми коммутирует - это единичная (и отличающиеся от неё на числовой коэффициент). Итак, вы утверждаете, что?..

[lucien]

Munin в сообщении #736275 писал(а):

Итак, вы утверждаете, что..

Итак, я утверждаю, что...

1) в своем решении espe подменил оператор $\hat{E}_p$ (обозначенный у Widia как $\omega$) на оператор $H$, который ни в коей мере не равен $\hat{E}_p$. В частности, $\hat{E}_p$ коммутирует с любой постоянной матрицей, чего не скажешь про $H$. Да и вообще, пространство функций, на котором действует оператор $\hat{E}_p$, может быть произвольным, например -- скалярные функции. Но даже в теории Дирака операторы $\hat{E}_p$ и $H$ не равны друг другу.

2) Нахождение коммутатора сводится к нахождению действия $\hat{E}_p$ на функцию координат $r^{-1}$. Для этого вспомним определение

Цитата:

Пусть $\hat{A}$ -- оператор, собственные функции которого $\psi_a$ образуют полный набор, $\hat{A}\psi_a=a\psi_a$. И пусть $F(t)$ -- некоторая однозначная функция переменной $t$. Тогда оператором $F(A)$ называется такой оператор, для которого $\psi_a$ -- полный набор сф с собственными значениями $F(a)$, т.е. $F(\hat{A})\psi_a=F(a)\psi_a$. При этом, если $\psi=\sum C_a\psi_a$ -- произвольная функция, то $F(A)\psi=\sum C_a F(a)\psi_a$ (1).

Таким образом, чтобы найти действие $\hat{E}_p$ на заданную функцию координат нужно разложить эту функцию по собственным векторам оператора $\hat{p}$ т.е. по плоским волнам и воспользоваться (1). Именно это и было сделанно в моем решении.

[espe]

lucien в сообщении #736299 писал(а):

Итак, я утверждаю, что...

1) в своем решении espe подменил оператор $\hat{E}_p$ (обозначенный у Widia как $\omega$) на оператор $H$, который ни в коей мере не равен $\hat{E}_p$. В частности, $\hat{E}_p$ коммутирует с любой постоянной матрицей, чего не скажешь про $H$.

Ну да, подменил. $E_p^2=H^2$, но вообще на первый взгляд кажется, что действительно $E_p\ne H$.

Что с чем коммутирует, а что нет, это вопрос определений. Чтобы было понятней, то можно не думать о $\alpha_i$ и $\beta$ как о матрицах, а думать как о некоторых объектах, заданных своими свойствами. Например октонионы же не задают матрицами, заданы просто свойства $e_i$ (или $i$, $j$, $k$, . . .) и всё.

lucien в сообщении #736299 писал(а):

Итак, я утверждаю, что...

2) Нахождение коммутатора сводится к нахождению действия $\hat{E}_p$ на функцию координат $r^{-1}$.

Не сводится, т.к. здесь второе равенство не справедливо

lucien в сообщении #735835 писал(а):

Коммутатор нужно вычислять так.

$$ [1/r,\omega]=r^{-1}\hat{\omega}-\hat{\omega}r^{-1}=-\omega\int\frac{4\pi e^{i\vec{p}\vec{r}}}{p^2}\frac{d^3p}{(2\pi)^3} $$

Равенство будет только для $\omega=c^i p_i$, где $c^i$ -- константы, что не выполняется.

[lucien]

espe в сообщении #736364 писал(а):

Равенство будет только для $\omega=c^i p_i$, где $c^i$ -- константы, что не выполняется.

Согласна, просмотрела. Тогда исходная задача выглядит почти безнадежной.

[Munin]

(Оффтоп)

lucien в сообщении #736495 писал(а):

Согласна, просмотрела.

Я жду извинений за "буквари". Не передо мной, а перед более уважаемыми людьми, которые сами этого не произнесут...

[lucien]

(espe)

lucien в сообщении #736188 писал(а):

Что такое матрицы прочитайте в учебнике по линейной алгебре. Про оператор координаты в координатном представлении читайте в ЛЛ3. Про фурье преобразования можно прочитать в курсе матанализа. Останутся вопросы -- обращайтесь.

Некрасиво получилось. Вижу, понимаю, сожалею.

[Munin]

(Оффтоп)

lucien в сообщении #736584 писал(а):

сожалею

Для вас родной язык английский, что ли? По-английски sorry - это извинение (в том числе). По-русски принято произносить "извините", "простите", "извиняюсь", "прошу прощения", "приношу извинения". Слово "сожалею" не подразумевает чувства личной вины.

[lucien]

Рассмотрим коммутатор общего вида

$$ [f(\hat{\mathbf{p}}),g(\mathbf{r})]\equiv\hat{Q} $$

Представим функции $f(\mathbf{p})$ и $g(\mathbf{r})$ в виде интегралов Фурье

$$ f(\mathbf{p})=\int e^{i\mathbf{k}\mathbf{p}}F(\mathbf{k})d^3k\,, $$

$$ g(\mathbf{r})=\int e^{i\mathbf{q}\mathbf{r}}G(\mathbf{q})d^3q\,. $$

Тогда

$$ \hat{Q}=\int\int F(\mathbf{k})G(\mathbf{q})[e^{i\mathbf{k}\hat{\mathbf{p}}},e^{i\mathbf{q}\mathbf{r}}]d^3kd^3q\,. $$

Но $e^{i\mathbf{k}\hat{\mathbf{p}}}=e^{\mathbf{k}\nabla}=\hat{T}_{\mathbf{k}}$ --- оператор трансляции на $\mathbf{k}$, т.е.

$$ \hat{T}_{\mathbf{k}}\psi(\mathbf{r})=\psi(\mathbf{r}+\mathbf{k})\,. $$

Поэтому

$$ [e^{i\mathbf{k}\hat{\mathbf{p}}},e^{i\mathbf{q}\mathbf{r}}]=(e^{i\mathbf{k}\mathbf{q}}-1) e^{i\mathbf{q}\mathbf{r}}e^{i\mathbf{k}\hat{\mathbf{p}}}\,. $$

Обозначим

$$ \hat{U}=e^{i\mathbf{q}\mathbf{r}}e^{i\mathbf{k}\hat{\mathbf{p}}}\,. $$

Найдем ядро оператора $\hat{U}$ в координатном представлении

$$ K_U(\mathbf{x},\mathbf{x}')=\langle\mathbf{x}|\hat{U}|\mathbf{x}'\rangle= \int\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{r})e^{i\mathbf{q}\mathbf{r}}\hat{T}_{\mathbf{k}}\delta^3(\mathbf{x}'-\mathbf{r})d^3r =e^{i\mathbf{q}\mathbf{x}}\delta^3(\mathbf{x}'-\mathbf{x}-\mathbf{k})\,. $$

Тогда для ядра оператора $\hat{Q}$ получаем

$$ K_Q(\mathbf{x},\mathbf{x}')=\int\int F(\mathbf{k})G(\mathbf{q})(e^{i\mathbf{k}\mathbf{q}}-1)K_U(\mathbf{x},\mathbf{x}')d^3kd^3q= $$

$$ =\int F(\mathbf{x}'-\mathbf{x})G(\mathbf{q})(e^{i\mathbf{q}\mathbf{x}'}-e^{i\mathbf{q}\mathbf{x}})d^3q= $$

$$ =F(\mathbf{x}'-\mathbf{x})(g(\mathbf{x}')-g(\mathbf{x}))\,. $$

Если $K_Q(\mathbf{x},\mathbf{x}')$ --- ядро оператора $\hat{Q}$, то

$$ \hat{Q}\psi(\mathbf{x})=\int K_Q(\mathbf{x},\mathbf{x}')\psi(\mathbf{x}')d^3x'\,. $$

т.е. определив ядро мы определили и коммутатор.

[warlock66613]

(про сожалею и sorry)

Munin в сообщении #736604 писал(а):

Слово "сожалею" не подразумевает чувства личной вины

В точности, как английское "sorry", не так ли? Потому что, насколько я знаю, "sorry" (по крайней мере в письменном виде, в устной речи возможно иначе) воспринимается американцами именно так, и даже ещё хуже - просто как посыл куда подальше.

[Munin]

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #736932 писал(а):

В точности, как английское "sorry", не так ли? Потому что, насколько я знаю, "sorry" (по крайней мере в письменном виде, в устной речи возможно иначе) воспринимается американцами именно так, и даже ещё хуже - просто как посыл куда подальше.

Если копаться в лингвистических тонкостях, то английское sorry подразумевает все варианты: и с чувством личной вины, и без него, и даже с посылом. А что именно имеется в виду - можно догадаться из другой лингвистической (интонация, контекст) или экстралингвистической информации (или иногда нельзя догадаться). В любом случае, sorry как извинение - ещё худо-бедно допустимо. А по-русски "сожалею" - уже не очень. Продолжает выглядеть хамством.

[lucien]

(Оффтоп)

Не знаю как там у американцев, мое "сожалею" означает в том числе и извинение и признание вины.

Для иллюстрации предложенного метода, вычислим коммутатор

$$ \hat{Q}=[\hat{p}_x,g(x)]. $$

$$ F(k)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ikp}p\,\frac{dp}{2\pi}= i\frac{d}{dk}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ikp}\frac{dp}{2\pi}=i\delta'(k). $$

$$ K(x,x')=F(x'-x)(g(x')-g(x))=i\delta'(x'-x)(g(x')-g(x))= $$

$$ =-i\delta(x'-x)\frac{d}{dx'}(g(x')-g(x))=-ig'(x)\delta(x'-x)\,, $$

т.е.

$$ [\hat{p}_x,g(x)]=-ig'(x). $$

Коммутаторы, указанные в условии, приводят к спецфункциям и до конца не вычисляются (вроде).

[Dragon27]

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #736932 писал(а):

В точности, как английское "sorry", не так ли? Потому что, насколько я знаю, "sorry" (по крайней мере в письменном виде, в устной речи возможно иначе) воспринимается американцами именно так, и даже ещё хуже - просто как посыл куда подальше.

Сожалею (без чувства вины) по-английский будет "I regret". А с чувством вины, например, "I apologize".
"Sorry", как уже сказали, может восприниматься и так и так.
В передачке "Полиглот. Английский за 16 часов" ведущий рассказывал про случай (не знаю, правдивый или нет), когда одна страна, в которую залетели чужие пилоты, требовала у другой страны извинений (цена вопроса - свобода пилотов), т.е. чтобы они написали им "We apologize". А страна, пилоты которой залетели, не чувствовала за собой вины и считала, что достаточно написать "We regret". В конце концов, сошлись на "Sorry", которое устроило обе стороны.