гиперподпространство

[Oleg Zubelevich]

Пусть $E$ -- бесконечномерное линейное пространство и $L\subset E$ -- гиперподпространство.

Доказать, что в $E$ можно так ввести норму, что $L$ окажется всюду плотным в $E$.

[Sinus]

А что такое гиперподпространство? Линейное подпространство коразмерности 1, или что-то другое?

[Oleg Zubelevich]

да оно самое

[Sinus]

Пусть $T = \{e_i \}$ - некий алгебраический базис в $L$. Определим в $L$ норму следующим образом: для
$a = \sum\limits _{j=1}^n \alpha _j e_j$ норма $||a|| = \sum\limits _{j=1}^n |\alpha _j |$. Тогда $L$ превратится в нормированное пространство.

Пусть теперь $E = L \bigoplus {e}$. Положим $||e|| = \frac{\pi ^2}{6}$ и $e = \sum\limits _{j=1} ^{\infty} \frac{1}{j^2}e_j'$ для некоторой счетной подпоследовательности $ \{e_j '\} \subset T$. Точнее, для $L \ni a = \sum\limits _{j=1}^n \alpha _j e_j$ обозначим через
$T_a:= \{ e_j \} _{1\leq j \leq n}$ и положим

$$||e-a||= \sum\limits _{k:e_k ' \in T_a } |\alpha _k - \frac{1}{k^2}|+ \sum\limits _{k:e_k ' \notin T_a} \frac{1}{j^2} + \sum\limits _{k: e_k \in T_a, e_k \notin \{e_j '\}}| \alpha _k| $$

и продолжим по линейности. Кажется, эта конструкция удовлетворяет условию задачи.

[Oleg Zubelevich]

да, без базиса Гамеля не обойтись, я использовал то, что ядро неограниченного линейного функционала всюду плотно