подсчитать интеграл от функции-шапочки

[oposum]

Как посчитать интеграл от следующей функции-шапочки:

$$f(x)=\begin{cases}e^{\frac{1}{x^2-1}},\,x\in(-1,1)\\0,\,|x|\geqslant1\end{cases}$$

на $(-\infty,\,+\infty)?$
ЗЫ мне очень стыдно

[svv]

Проще говоря, найти $\int\limits_{-1}^{+1} e^{\frac 1 {x^2-1}} dx$.
PS стыдного в таком вопросе точно ничего нет.

[shur]

(Оффтоп)

Вполне приличный интеграл)

[Полосин]

$\int\limits_{-1}^1e^{1/(x^2-1)}dx=\int\limits_0^1\dfrac{e^{-1/s}ds}{\sqrt{1-s}}=\int\limits_1^{+\infty}\dfrac{e^{-t}dt}{t^{3/2}\sqrt{t-1}}=\dfrac{\sqrt{\pi}}{e}\Psi(1/2,0;1)$, где $\Psi(a,b;x)$ - вырожденная гипергеометрическая функция.

[oposum]

а нет ли функции шапочки, интеграл от которой равен $1$ и она обращается в $0$ вне отрезка$(-1,\,1)?$

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

oposum в сообщении #441088 писал(а):

функции-шапочки

А что такое функция-шапочка? Функции-носков нет случайно?

[arseniiv]

Она должна быть непрерывной, да? Можно поиграть с куском синусоиды, например.

-- Вт май 03, 2011 20:11:27 --

После сдвигов и нормировки получим вот что: $f(x) = \begin{cases} \frac{\cos \pi x + 1}2, & -1 \leqslant x \leqslant 1 \\ 0 & \text{иначе} \end{cases}$.

[Полосин]

oposum, просто выполните нормировку, т.е. разделите функцию на интеграл от нее.
arseniiv, ваш пример годится, если требуется лишь непрерывность (и положительность); обычно же требуют бесконечной гладкости.

[arseniiv]

Кстати, вообще, встречалась ли кому-нибудь функция, интегрируемая в элементарных, бесконечно гладкая и равная нулю везде, кроме какого-нибудь отрезка? Можно ли доказать, что такой не существует? (Почему-то кажется, что последние два условия несовместны.)

[gris]

Из последних двух следует, что она не аналитическая, а все элементарно-игтегрируемые аналитические.

[ИСН]

Производная от функции из первого сообщения подойдёт?

[gris]

А она не шапошная. Хотя вроде бы спрашивалось не о таких. ?

[arseniiv]

gris в сообщении #441306 писал(а):

Из последних двух следует, что она не аналитическая, а все элементарно-интегрируемые аналитические.

Спасибо! Да, верно, я имел ввиду неотрицательные функции.

[gris]

Хотя, конечно, я не знаю, считается ли "интегрируемой в элементарных" функция, заданная разными формулами на разных отрезках. Ну из примера ИСН. Ведь неопределённое интегрирование это вещь символьная.

[Groging]

arseniiv в сообщении #441303 писал(а):

Кстати, вообще, встречалась ли кому-нибудь функция, интегрируемая в элементарных, бесконечно гладкая и равная нулю везде, кроме какого-нибудь отрезка? Можно ли доказать, что такой не существует? (Почему-то кажется, что последние два условия несовместны.)

gris в сообщении #441306 писал(а):

Из последних двух следует, что она не аналитическая, а все элементарно-игтегрируемые аналитические.

очень туплю, но можно поподробнее, почему финитную функцию нельзя разложить в ряд ? (ну ведь из этого неаналитичность вылазит)