Представление чисел суммой квадратов

[Stanislav]

Поскольку мне не удалось найти ответ в литературе, решил обратиться к народу. В одной физической задаче, которую я сейчас рассматриваю, возникает необходимость найти число целых решений уравнения
x^2+y^2+z^2=n
Очевидно, что решение существует не для всякого n. Меня интересует, можно ли получить общую формулу в данном случае. В литературе по теории чисел, которую я смотрел, разобраны только суммы двух и четырех квадратов.

[maxal]

См. формулу (32) в MathWorld: Sum of Squares Function.

[Stanislav]

Большое спасибо. Однако, я забыл еще одно условие: x,y,z должны быть больше нуля.

[maxal]

Stanislav писал(а):

Однако, я забыл еще одно условие: x,y,z должны быть больше нуля.

Ну так вычтите число представлений в виде суммы двух квадратов.

[Stanislav]

maxal писал(а):

Ну так вычтите число представлений в виде суммы двух квадратов.

Это очевидно. Кроме того, если пользоваться этой формулой, нужно вычесть кол-во комбинаций с одним, двумя и тремя отрицательными числами.

[maxal]

Stanislav писал(а):

Кроме того, если пользоваться этой формулой, нужно вычесть кол-во комбинаций с одним, двумя и тремя отрицательными числами.

Проще. Если N - это число представлений n в виде суммы трех квадратов ненулевых чисел, то N/8 - это число представлений в виде суммы трех квадратов положительных чисел. Следует из того, что у тройки чисел можно расставить знаки плюс-минус 2^3=8 способами.

[Stanislav]

maxal писал(а):

Если N - это число представлений n в виде суммы трех квадратов ненулевых чисел, то N/8 - это число представлений в виде суммы трех квадратов положительных чисел. Следует из того, что у тройки чисел можно расставить знаки плюс-минус 2^3=8 способами.

Да, но если среди них, например, два или три одинаковых (n=3, n = 17, n = 29), то кол-во возможных расстановок знаков будет другим. И число может допускать представление несколькими разными тройками x,y,z (с разным количеством повторений). Я на данный момент думаю следующее: для каждой из разных троек вычислить сумму перестановок с k_i повторениями при разном кол-ве минусов:
\displaystyle\sum_{i=1}^3 \dfrac{3!}{k_i!}.

Просмотрев несколько современных работ по этому вопросу, прихожу к выводу, что в общий случай (для любых n, а не только неквадратных) -- одна из нерешенных проблем теории чисел. Максимум, что удалось найти -- формула Гаусса (32), критерий неразложимости 4^k(8m + 7) (тоже не универсальный) и различные асимптотические выражения для n специального вида.

[maxal]

Stanislav писал(а):

maxal писал(а):

Если N - это число представлений n в виде суммы трех квадратов ненулевых чисел, то N/8 - это число представлений в виде суммы трех квадратов положительных чисел. Следует из того, что у тройки чисел можно расставить знаки плюс-минус 2^3=8 способами.

Да, но если среди них, например, два или три одинаковых (n=3, n = 17, n = 29), то кол-во возможных расстановок знаков будет другим.

Тем же. По определению функция $r_3(n)$ учитывает все возможные расстановки знаков и порядки следования слагаемых. Например, $r_3(3)=8$, несмотря на то, что все три слагаемые во всех представлениях равны по модулю.

Пусть n не является полным квадратом. Тогда число представлений $n=x^2+y^2+z^2$, где $x,y,z>0$, равно $u(n)=\frac{r_3(n)-3 r_2(n)}{8}$ (для полного квадрата надо еще 3 в числителе вычесть).

Stanislav писал(а):

И число может допускать представление несколькими разными тройками x,y,z (с разным количеством повторений).

Да, поэтому упорядоченные представления подсчитать сложнее.

Пусть $v_k(n)$ равно числу представлений $n=x^2+y^2+z^2$ для $x,y,z>0$ с k одинаковыми слагаемыми. Очевидно, что $v_3(n)$ равно 1, если n имеет вид $3m^2$, и 0 в противном случае. А вот $v_2(n)$ подсчитать куда как сложнее.

Пусть s(n) равно числу представлений $n=x^2+2y^2$, где $x,y>0$. Исключая для n случаи полного и утроенного квадрата, получаем, что число представлений $n=x^2+y^2+z^2$, где $0<x\leq y\leq z$, равно $\frac{u(n)-3s(n)}{6}+s(n)=\frac{u(n)+3s(n)}{6}$.

Stanislav писал(а):

Просмотрев несколько современных работ по этому вопросу, прихожу к выводу, что в общий случай (для любых n, а не только неквадратных) -- одна из нерешенных проблем теории чисел.

Возможно, но тут уже надо смотреть специальную литературу.

[Аурелиано Буэндиа]

Stanislav писал(а):

Поскольку мне не удалось найти ответ в литературе, решил обратиться к народу. В одной физической задаче, которую я сейчас рассматриваю, возникает необходимость найти число целых решений уравнения
x^2+y^2+z^2=n

Если не секрет, в чём заключается Ваша физическая задача (в 2-х словах)?

[Gordmit]

Широко известна формула Ландау для количества чисел, представимых суммой двух квадратов и не превосходящих $x$:

$$\sum_{s_n\leqslant x}1\sim\frac{cx}{\sqrt{\ln x}}$$

при $x\to\infty$,

где $\{s_n\}_{n=1}^{\infty}$ -- последовательность чисел, представимых суммой двух квадратов целых чисел, упорядоченная по возрастанию.

Возник такой вопрос: а знает ли кто-нибудь вариант этой формулы в виде асимптотической формулы с остаточным членом? Т.е. что-то вроде

$$\sum_{s_n\leqslant x}1=\frac{cx}{\sqrt{\ln x}}+O(...)$$

при $x\to\infty$?

Я такой формулы нигде не встречал. Существует ли такая формула, может кто видел?

[RIP]

В книжке А.Г.Постников "Введение в аналитическую теорию чисел" приведена формула

$$=C\frac x{\sqrt{\ln x}}+O\left(\frac x{\sqrt{\ln x}\ln\ln x}\right),$$

$C$ - какая-то константа.

[maxal]

См. http://mathworld.wolfram.com/Landau-Ram ... stant.html и далее по ссылкам.

[Gordmit]

RIP писал(а):

В книжке А.Г.Постников "Введение в аналитическую теорию чисел" приведена формула

$$=C\frac x{\sqrt{\ln x}}+O\left(\frac x{\sqrt{\ln x}\ln\ln x}\right),$$

$C$ - какая-то константа.

Спасибо. А Вы не встречали эту книгу в электронном виде?

[RIP]

Gordmit писал(а):

Спасибо. А Вы не встречали эту книгу в электронном виде?

В электронном не видел.
А по ссылке maxalа гораздо более точный результат.

[Gordmit]

maxal писал(а):

См. http://mathworld.wolfram.com/Landau-Ram ... stant.html и далее по ссылкам.

Спасибо за ссылку!
Если я правильно понял, из того, что там написано следует даже более сильный факт

$$\sum_{s_n\leqslant x}1=\frac{cx}{\sqrt{\ln x}}+O\left(\frac{x}{\ln^{3/2} x}\right)$$

?