2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Будет ли функция принадлежать пространству Соболева?
Сообщение25.04.2013, 09:59 
Аватара пользователя
Пусть $[a,b]$ - конечный отрезок.
Функция $f$ имеет производную в каждой точке отрезка (в обычном смысле как предел отношения), при чем производная ограничена.

Принадлежит ли $f$ пространству Соболева $W^1_2(a,b)$?

 
 
 
 Re: Будет ли функция принадлежать пространству Соболева?
Сообщение25.04.2013, 14:06 
Аватара пользователя
Ну так проверьте :)

 
 
 
 Re: Будет ли функция принадлежать пространству Соболева?
Сообщение25.04.2013, 17:25 
Аватара пользователя
Я себе представляю этот факт правильным, но не совсем очевидным. Поправьте, если не прав.

Надо показать, что функция $f$ является абсолютно непрерывной. Для этого воспользуемся теоремой о среднем значении:
$f(x)-f(y) = f'(C)(x-y).$
Ввиду условия, что производная ограничена, показываем по определению, что функция $f$ абсолютно непрерывна.

 
 
 
 Re: Будет ли функция принадлежать пространству Соболева?
Сообщение26.04.2013, 02:31 
Аватара пользователя
DLL в сообщении #715427 писал(а):
Надо показать, что функция $f$ является абсолютно непрерывной.

Зачем это надо показывать и что с этим дальше делать?
Не проще ли по определению?

 
 
 
 Re: Будет ли функция принадлежать пространству Соболева?
Сообщение26.04.2013, 12:57 
Аватара пользователя
Не очень понятно как именно.
Ведь производная в данном случае является лишь ограниченной, никаких дополнительных условий непрерывности не накладывается.

 
 
 
 Re: Будет ли функция принадлежать пространству Соболева?
Сообщение26.04.2013, 14:48 
Аватара пользователя
DLL в сообщении #715728 писал(а):
Не очень понятно как именно.
Ведь производная в данном случае является лишь ограниченной, никаких дополнительных условий непрерывности не накладывается.

Вы об чем? Каким определением для пространства $W_2^1$ вы пользуетесь? Приведите его тут если не трудно.

 
 
 
 Re: Будет ли функция принадлежать пространству Соболева?
Сообщение26.04.2013, 15:22 
DLL в сообщении #715728 писал(а):
Ведь производная в данном случае является лишь ограниченной,

и измеримой и верна формула Ньютона-Лейбница см Колмогоров Фомин

 
 
 
 Re: Будет ли функция принадлежать пространству Соболева?
Сообщение03.05.2013, 12:20 
Аватара пользователя
Цитата:
и измеримой и верна формула Ньютона-Лейбница см Колмогоров Фомин

Ага, спасибо.

Теперь вопрос такой, а если речь идет про операторозначную функцию $f(t)$ (со значениями в банаховом пространстве ограниченных операторов). Пусть эта функция сильно дифференцируема в каждой точке отрезка $[a,b]$ и нормы (операторные) производных ограничены. В таком случае верна будет формула Ньютона-Лейбница?

 
 
 
 Re: Будет ли функция принадлежать пространству Соболева?
Сообщение06.05.2013, 17:36 
Аватара пользователя
С операторами все туго становится? :mrgreen:

 
 
 
 Re: Будет ли функция принадлежать пространству Соболева?
Сообщение06.05.2013, 17:40 
ну вы ведь ссылку уже получили

 
 
 
 Re: Будет ли функция принадлежать пространству Соболева?
Сообщение13.06.2013, 20:44 
Аватара пользователя
Глава 6, параграф 4.
Применять можно формулу Ньютона-Лейбница к абсолютно непрерывной функции...
Не там ищу?! :-(

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group