Я себе представляю этот факт правильным, но не совсем очевидным. Поправьте, если не прав.
Надо показать, что функция

является абсолютно непрерывной. Для этого воспользуемся теоремой о среднем значении:

Ввиду условия, что производная ограничена, показываем по определению, что функция

абсолютно непрерывна.