Найти отношение объемов полученных кусков сыра

[inky]

Подскажите с чего начать.
Вот сам текст задачи:

Кусок сыра в форме правильной 4-угольной пирамиды $SABCD$ (где $S$-вершина пирамиды) разрезали одним плоским разрезом, который проходит через ребро $AB$ и делит ребро $SC$ в отношении $2:3$, считая от вершины $S$.
Найти отношение объемов полученных кусков сыра.

Я пробовал по-разному начертить пирамиду и это сечение, никуда не продвинулся. Может есть какое-нибудь свойство, с помощью которого решаются такие задачи? Ведь даже если бы ребро $SC$ делилось в отношении $1:1$, всё равно объёмы фигур не были бы одинаковыми? Или были бы?
Я плохо представляю себе сам чертёж задачи. Посоветуйте пожалуйста какую-нибудь программу для построения объемных фигур.

[ИСН]

Нож и сырая картошка к Вашим услугам. Вырезать пирамиду, покрутить её в руках - это легко. А программы не особо полезны. В них можно нарисовать красивые картинки, да. Но и чтобы нарисовать, и чтобы понять нарисованное - надо уже именно представлять чертёж в голове.

[inky]

ИСН в сообщении #736190 писал(а):

Нож и сырая картошка к Вашим услугам.

Странно, у меня поначалу была такая же идея и я уже ее попробовал дважды. Мало чем помогло.
Только кажется что отношение объёмов такое же: 2:3

[ИСН]

Не надо "кажется". Картошка - это для развития пространственного воображения, чтобы представлять, что вообще происходит. А решать задачу надо путём каких-то математических действий: что это за тела, из чего можно выразить их объём...

[inky]

При делении получается 2 тела: верхнее - это неправильная пирамида с трапецией в основании, а нижнее - что-то вроде наклонной призмы с треугольниками в основании, только основания не параллельны.
Сейчас попробую выразить объемы...

[svv]

(Оффтоп)

Это из "Геометрии для мышей"?

[inky]

(Оффтоп)

svv в сообщении #736216 писал(а):

Это из "Геометрии для мышей"?

в каком смысле для мышей?

[TOTAL]

inky в сообщении #736179 писал(а):

Подскажите с чего начать.

Для начала проведите диагональ в основании. Затем найдите объем нижней части, представив ее как сумму трех тетраэдров.

[svv]

(Оффтоп)

inky
Сыр -- это для мышей актуально. Геометрия для них излагается на актуальных примерах.

[inky]

TOTAL в сообщении #736222 писал(а):

...представив ее как сумму трех тетраэдров.

а как у вас получилось 3 тетраэдра? я смог сделать 1 тетраэдр и какую-то непонятную фигуру с пятью треугольными гранями..

[TOTAL]

inky в сообщении #736233 писал(а):

TOTAL в сообщении #736222 писал(а):

...представив ее как сумму трех тетраэдров.

а как у вас получилось 3 тетраэдра? я смог сделать 1 тетраэдр и какую-то непонятную фигуру с пятью треугольными гранями..

Два из них стоят на основании самой пирамиды, третий стоит на боковой стороне одного из первых двух.

[inky]

Кажется понял как....но посчитать не успею, мне надо идти на информатику. Вечером я ещё напишу, не забудьте пожалуйста про эту задачу.

[inky]

я попробовал выразить объём, у меня не получается. Не могу выразить высоту крайних тетраэдров и нет никаких идей по поводу среднего. А с верхним куском пирамиды я вообще не знаю что делать..

[provincialka]

Может, легче найти объем верхнего куска? Если бы пирамида была треугольной, это было бы очень легко.
Пусть у нас есть пирамида $SABC$, от каждого бокового ребра отрезаем некий отрезок, например, $SA_1=p\cdot SA, SB_1=q\cdot SB, SC_1=r\cdot SC$. Тогда объем пирамиды $SA_1B_1C_1$ получается умножением объема $SABC$ на число $pqr$.

Может, для четырехугольной пирамиды можно вывести что-то подобное?

-- 13.06.2013, 23:01 --

В крайнем случае разбить исходную пирамиду на две треугольные.

(Оффтоп)

ответ у меня получился в уме. Но, наверное, пока не надо его писать

[svv]

Объем нижней половины, действительно, лучше найти как разность объема исходной пирамиды и объема верхней половины.
Продолжим отрезки $BC_1$ и $AD_1$ до пересечения в точке $P$. Теперь верхняя половина -- это тетраэдр $SABP$ минус тетраэдр $SD_1C_1P$.
Дальше, у этих тетраэдров общая плоскость основания и общая высота, поэтому их объёмы относятся как площади оснований $ABP$ и $D_1C_1P$.