Нахождение собственных значениий уравнения Орра-Зоммерфельда

[akgen]

Здравтсвуйте!

Требуется решить задачу на поиск собственных значений уравнения Орра-Зоммерфельда методом Галёрикна.
Уравнение выглядит так:
$(U - c) (\varphi'' - \alpha^2 \varphi) - U''\varphi = -\frac{i}{\alpha \operatorname{Re}}(\varphi'''' - 2\alpha^2\varphi''+\alpha^4\varphi),$
где
$U$ - уравнение скорости некоторого течения, оно известно и $U = U(y)$,
$c$ - комплексное собственное значение,
$\varphi$ - уравнение возмущения, которое удовлетворяет следующим краевым условиям:
$\varphi(0) = \varphi(1) = 0; $
$\varphi'(0) = \varphi'(1) = 0.$;
$\alpha, \operatorname{Re}$ - некоторые известные константы (последнее - число Рейнольдса).

В качестве базисных функций было предложено выбрать функции Чандрасекара:
$g_n(z) = \frac{\sh(\mu_n(z - 1/2))}{\sh(\mu_n / 2)} - \frac{\sin(\mu_n(z - 1/2))}{\sin(\mu_n / 2)}$ при чётном $n$ и
$g_n(z) = \frac{\ch(\lambda_n(z - 1/2))}{\ch(\lambda_n / 2)} - \frac{\cos(\lambda_n(z - 1/2))}{\cos(\lambda_n / 2)}$ при нечётном $n$.
Константы $\mu_n$ и $\lambda_n$ известны (положительные корни уравнений $\cth (\mu / 2) = \ctg(\mu / 2)$ и $\th (\lambda / 2) = - \tg (\lambda / 2)$).

Тогда, применяя метод Галёркина, описанный в книге Калиткина Н. Н. "Численные методы", мы должны в итоге получить линейные уравнения. Но из за произведения $(U - c) (\varphi'' - \alpha^2 \varphi) $ я не могу это сделать. Или всё-таки могу?

P.S. Преподаватель, описывая задачу, говорил, что собственные значения лучше искать методом Галёркина, который реализован в библиотеке LAPACK на фортране. Поэтому возникает вопрос: так ли это и как применять этот метод программно?
От себя добавлю, что метод этот не смог найти, а нашёл лишь процедуры для поиска собственных значения уравнений вида $Ax = \lambda B x$, где $A$ - матрица (комплексная, вещественная), $B$ - вектор, $\lambda$ - собственное значение. Можно ли свести уравнение Орра-Зоммерфельда к такому виду?

[akgen]

Думаю, что все ответы можно было бы найти в статье Г. И. Петрова "Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости", «Прикладная математика и механика. Новая серия», 1940, т. 4, вып. 3, но, к сожалению, в интернетах я её найти не смог.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihiv]

akgen в сообщении #734942 писал(а):

мы должны в итоге получить линейные уравнения. Но из за произведения $(U - c) (\varphi'' - \alpha^2 \varphi) $ я не могу это сделать.

Почему это произведение мешает Вам получить линейные уравнения? Непонятно.

[akgen]

Меня раздражали произведения вида $c \cdot a_k$, где $a_k$ - коэффициенты из разложения функции $\varphi$ при помощи функций Чандрасекара. Теперь я понял, что было неправильным в формулировке: $B$ - не вектор, а матрица. Тогда получаем задачу на собственные значения, которая решается при помощи подпрограмм http://www.nag.co.uk/lapack-ex/node121.html библиотеки $LAPACK$.