Порядок координат тензора в матрице

[arseniiv]

Когда пишут координаты тензора, ко- и контравариантного одновременно в виде матрицы, есть какое-то соглашение о соответствии ко- и контравариантных индексов строкам и столбцам? С рангом ${}^1_1$ вроде бы есть естественное —

$$\begin{bmatrix} A^1_1 & \cdots & A^1_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A^n_1 & \cdots & A^n_n \end{bmatrix}.$$

А для ${}^2_0$ и ${}^0_2$ «приоритетнее» строки или столбцы?

А с тензорами высших рангов?

[Mysterious Light]

ewert в сообщении #501875 писал(а):

Kallikanzarid в сообщении #501806 писал(а):

Зачем нужно мнемоническое правило? $(AB)_i^j = A_i^k B_k^j$, столбец всегда сверху.

Хотя есть забавная мнемоника. Столбец - он, строка - она. Он сверху

Далеко не всегда. Если речь о просто матрице как таковой, а не о каком-нибудь несчастном тензоре, то обычно он -- просто справа. Да, кстати, для матрицы как тензора (матрицы оператора) он, наоборот, снизу. Поскольку для столбцов индексы принято писать сверху (если уж вообще приспичит разносить их по разным этажам).

Для двух нижних индексов: первый индекс означает строку, второй — столбец.

[Munin]

Вообще для любых двух индексов - первый означает строку, второй - столбец. Тензоры с одним верхним и одним нижним индексом пишут с явным порядком индексов: $A_i{}^j$ - это совсем не то же самое, что $A^j{}_i$! У разных (по порядку) индексов тензора - разный смысл, точно так же, как у разных аргументов функции. Не станете же вы свободно переставлять аргументы функции? Вот и с тензорами нельзя.

concatenate(first_half,second_half)≠concatenate(second_half,first_half)

$f(a,b)=a^b\ne f(b,a)=b^a$

$A(a,b)=A_i{}^j a^i b_j=A^i{}_j a_i b^j\ne A^j{}_i a^i b_j=A(b,a)$

Исключение - симметричные тензоры. Но для них всё равно, как писать матрицу :-)

Тензоры ранга выше 2 - нет общепринятых правил, как их записывать, так что надо это оговаривать.

TeX: $A_i{}^j$ пишется как $A_i{}^j$

[arseniiv]

Как раз не всё было ясно с порядком индексов. Теперь ясней.

[Munin]

При поднятии-опускании индекса, сохраняется позиция индекса "по горизонтали".

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #735877 писал(а):

я любых двух индексов - первый означает строку, второй - столбец. Тензоры с одним верхним и одним нижним индексом пишут с явным порядком индексов: $A_i{}^j$ - это совсем не то же самое, что $A^j{}_i$! У разных (по порядку) индексов тензора - разный смысл, точно так же, как у разных аргументов функции. Не станете же вы свободно переставлять аргументы функции? Вот и с тензорами нельзя.

concatenate(first_half,second_half)≠concatenate(second_half,first_half)

$f(a,b)=a^b\ne f(b,a)=b^a$

$A(a,b)=A_i{}^j a^i b_j=A^i{}_j a_i b^j\ne A^j{}_i a^i b_j=A(b,a)$

Исключение - симметричные тензоры. Но для них всё равно, как писать матрицу

1) формула бессмысленна: поскольку в начале первым аргументом у функции $A(a,b)$ является вектор, а конце -- ковектор
2) симметричность не является инвариантом тензора типа (1,1)

действительно используются обозначения $A^{\cdot i}_{j\cdot}$ но по совершенно другому поводу, что бы различать тензоры скажем $A^{\cdot i}_{j\cdot}=A^{ki}g_{jk}$ и $A^{ i\cdot}_{\cdot j}=A^{ik}g_{jk}$. Здесь $A^{\cdot i}_{j\cdot}$ и $A^{ i\cdot}_{\cdot j}$ это просто разные тензоры

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #734873 писал(а):

Когда пишут координаты тензора, ко- и контравариантного одновременно в виде матрицы, есть какое-то соглашение о соответствии ко- и контравариантных индексов строкам и столбцам? С рангом ${}^1_1$ вроде бы есть естественное —

$$\begin{bmatrix} A^1_1 & \cdots & A^1_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A^n_1 & \cdots & A^n_n \end{bmatrix}.$$

Стоп.

Естественно оно только если всегда расставлять сомножители вот так $A_s^i B_k^s $. А если вдруг захочется вот так $A_k^s B_s^i $, то "естественным" будет транспонированный вариант первой "естественности".

Со всем прочим - та же история. Всего лишь дело вкуса. С той, конечно же, оговоркой, что абы как можно расставить соответствия только один - первый - раз, а потом уж неукоснительно выбранной установки придерживаться.

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #736129 писал(а):

причем одна из этих сумм может быть определена, а другая -нет

Чисто случайно обнаружив эту добавку к уже откомментированному сообщению, я решил отписаться об этом здесь. Если кто данного замечания и не заметит, то это не мои проблемы. Отписался где захотел.

P.S. А чё, ему можно, а мне - нет?

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #736119 писал(а):

Естественно оно только если всегда расставлять сомножители вот так $A_s^i B_k^s $. А если вдруг захочется вот так $A_k^s B_s^i $, то "естественным" будет транспонированный вариант первой "естественности".

транспонирование тут ни при чем. $A_s^i B_k^s $ -- это матрица оператора $AB$, а $A_k^s B_s^i$ это матрица оператора $BA$

[Утундрий]

Oleg Zubelevich
В моём сообщении $A_s^i B_k^s $ и $A_k^s B_s^i $ - это два различных сопоставления матриц оператору $AB$. Каждое из них допустимо.

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #736128 писал(а):

В моём сообщении $A_s^i B_k^s $ и $A_k^s B_s^i $ - это два различных сопоставления матриц оператору $AB$.

неверно, это матрицы разных операторов, причем одна из этих сумм может быть определена, а другая -нет

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #736129 писал(а):

неверно, это матрицы разных операторов

Трудно с писателями. Ну не читатели они...

То же самое, но другими словами. Возьмём $A_k^i $. Захотим - $i$ будет нумеровать строки, захотим - $k$ будет нумеровать строки. Только захотеть дозволяется лишь один раз.

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #736131 писал(а):

То же самое, но другими словами. Возьмём $A_k^i $. Захотим - $i$ будет нумеровать строки, захотим - $k$ будет нумеровать строки. Только захотеть дозволяется лишь один раз.

какое соглашение не зафиксируй, всеравно матрицы $A_s^i B_k^s $ и $A_k^s B_s^i $ -- разные. Кстати , вы не найдете ни один учебник в котором нижним индексом нумеровались бы строки, а верхним столбцы, так, что эти новшества из области ваших фантазий.

Утундрий в сообщении #736119 писал(а):

P.S. А чё, ему можно, а мне - нет?

а то, что произведение матриц $AB$ может существовать, а произведение $BA$ -- нет.
не все операторы описываются квадратными матрицами, понимаете?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #736118 писал(а):

1) формула бессмысленна

В случае опускания и поднимания индексов подразумевается заданная структура скалярного произведения. Если вы этого обычного умолчания не знаете - не высказывайтесь с умным видом. arseniiv без вас разобрался. А с вами - только запутается. Подумайте, насколько ценно быть анти-педагогом...

Oleg Zubelevich в сообщении #736118 писал(а):

2) симметричность не является инвариантом тензора типа (1,1)

В пространствах со структурой скалярного произведения (должным образом определённая) - является.

Oleg Zubelevich в сообщении #736118 писал(а):

Здесь $A^{\cdot i}_{j\cdot}$ и $A^{ i\cdot}_{\cdot j}$ это просто разные тензоры

Удивительно, и почему я написал ровно то же самое, но получил за это no credit?

Короче, вы опять решили вмешаться "по-медвежьи", опять с предсказуемыми результатами.

-- 13.06.2013 16:06:52 --

Oleg Zubelevich в сообщении #736155 писал(а):

Кстати , вы не найдете ни один учебник в котором нижним индексом нумеровались бы строки, а верхним столбцы, так, что эти новшества из области ваших фантазий.

Вы не найдёте ни один учебник, в котором и $A_i{}^j,$ и $A^j{}_i$ записывались бы как $A_i^j,$ так что вы опять сморозили глупость.

Oleg Zubelevich в сообщении #736155 писал(а):

а то, что произведение матриц $AB$ может существовать, а произведение $BA$ -- нет.
не все операторы описываются квадратными матрицами, понимаете?

Когда не совпадают размерности тех или иных индексов, вводят разные типы индексов, например: $a,b,\ldots$ (из начала алфавита), $i,j,\ldots,$ $\alpha,\beta,\ldots,$ $\mu,\nu,\ldots,$ и так далее, каждый тип пробегает размерности в своём пространстве. После этого, записать несуществующее произведение просто невозможно: для этого символ должен быть свёрнут по индексам разных типов. Короче, вы опять сморозили глупость, и продемонстрировали незнание общепринятых соглашений и умолчаний.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #736273 писал(а):

Вы не найдёте ни один учебник, в котором и $A_i{}^j,$ и $A^j{}_i$ записывались бы как $A_i^j,$ так что вы опять сморозили глупость.

Да, смешно, все остальное Munin действительно можно списать на то, что вы чего-то там "подразумевали",
но этот опус говорит о том, что вы не понимаете.

Ефимов Розендорн Лин. алгебра и многомерная геометрия:



Кострикин Манин Линейная алгебра и геометрия:



Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия:


-- Чт июн 13, 2013 16:07:39 --

Munin в сообщении #736273 писал(а):

В случае опускания и поднимания индексов подразумевается заданная структура скалярного произведения. Ес

кстати, а где именно в том вашем посте (3-й пост в ветке), что я прокомментрировал , или выше того поста, написано про поднятие/опускание индексов?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #736282 писал(а):

кстати, а где именно в том вашем посте (3-й пост в ветке), что я прокомментрировал , или выше того поста, написано про поднятие/опускание индексов?

Формула

Munin в сообщении #735877 писал(а):

$A(a,b)=A_i{}^j a^i b_j=A^i{}_j a_i b^j\ne A^j{}_i a^i b_j=A(b,a)$

которую вы, видимо, не прочитали, обратив внимание только на начало и на конец.

Приведённые вами цитаты из учебников - правомерны только в случае пространств без скалярного произведения, и соответственно, без поднимания и опускания индексов. В этом случае тензор ранга (1,1) не может быть переведён в ранги (2,0) и (0,2), и его индексы, действительно, не перепутаешь, так что и порядок "по горизонтали" отслеживать не обязательно.