48-я ММО для школьников, Вьетнам, Ханой - 2007

[dm]

День первый
25 июля 2007

1. Даны вещественные числа $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$. Для каждого $i$ $(1 \leq i \leq n )$ определим

$$d_{i}= \max \{ a_{j}\mid 1 \leq j \leq i \}-\min \{ a_{j}\mid i \leq j \leq n \},$$

и пусть $d = \max \{d_{i}\mid 1 \leq i \leq n \}$.
(a) Доказать, что для произвольных вещественных чисел $x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}$ выполнено неравенство

$$\max \{ |x_{i}-a_{i}| \mid 1 \leq i \leq n \}\geq \frac{d}{2}. \quad \quad (*)$$

(b) Показать, что найдутся вещественные числа $x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}$, для которых неравенство ($*$) обращается в равенство.

2. Рассмотрим такие пять точек $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$, что $ABCD$ — параллелограмм и $BCED$ — вписанный четырехугольник. Пусть прямая $\ell$ проходит через $A$. Предположим, что $\ell$ пересекает отрезок $DC$ в точке $F$, не являющейся его концом, и пересекает прямую $BC$ в $G$. Предположим также, что $EF=EG=EC$. Доказать, что $\ell$ является биссектрисой угла $DAB$.

3. Некоторые из участников математической олимпиады являются друзьями. Если один участник является другом второго, то второй является другом первого. Назовем группу участников компанией, если любые двое из них друзья. (В частности, любая группа менее, чем из двух участников, является компанией.) Количество членов компании назовем ее размером.
Известно, что в данной олимпиаде наибольший размер компании является четным числом. Доказать, что участников можно разместить в двух комнатах так, что наибольший размер компании, находящейся в одной комнате, равен наибольшему размеру компании, находящейся в другой комнате.

http://www.imo2007.edu.vn/
http://www.mathlinks.ro/Forum/index.php?f=450

[arqady]

dm писал(а):

2. Рассмотрим такие пять точек $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$, что $ABCD$ — параллелограмм и $BCED$ — вписанный четырехугольник. Пусть прямая $\ell$ проходит через $A$. Предположим, что $\ell$ пересекает отрезок $DC$ в точке $F$, не являющейся его концом, и пересекает прямую $BC$ в $G$. Предположим также, что $EF=EG=EC$. Доказать, что $\ell$ является биссектрисой угла $DAB$.

Практически та же задача была на Южноафриканской олимпиаде 1999 года.
Кто не хочет решать, вот она, здесь:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=54065

[kekocaumay]

День второй
26 июля 2007
4) В треугольнике ABC биссектриса угла BCA пересекается описанной окружности на R, перпендикулярно биссектрисам ABC на P, и перпендикулярно биссектрисам CAB на Q. K - середина BC и L - середина АС. Докажите, что треугольники RPK и RQL имеют те же площади.
5) Пусть a и b быть положительным чисел. Показать, что если $4ab - 1$ делит $(4a ^ (2) -1) ^ (2)$, то $a = b$.
6)Пусть n - положительное целое. Рассмотрим
$S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x+y+z > 0 \right \}$ как множество $ (n +1) ^ (3) -1$ точек в трехмерном пространстве. Определить минимальное число плоскости, объединение которых содержит S, но не включает (0,0,0).

[Macavity]

kekocaumay писал(а):

День второй
26 июля 2007
5) Пусть a и b быть положительным чисел. Показать, что если $4ab - 1$ делит $(4a ^ (2) -1) ^ (2)$, то $a = b$.
6)Пусть n - положительное целое. Рассмотрим
$S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x+y+z > 0 \right \}$ как множество $ (n +1) ^ (3) -1$ точек в трехмерном пространстве. Определить минимальное число плоскости, объединение которых содержит S, но не включает (0,0,0).

У Вас проблема со скобками, надо так (фигурные вместо круглых):

5) Пусть a и b быть положительным чисел. Показать, что если $4ab - 1$ делит $(4a ^ {2} -1) ^ {2}$, то $a = b$.
6)Пусть n - положительное целое. Рассмотрим
$S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x+y+z > 0 \right \}$ как множество $ (n +1) ^ {3} -1$ точек в трехмерном пространстве. Определить минимальное число плоскости, объединение которых содержит S, но не включает (0,0,0).

Подправьте у себя.

И в последней задаче вероятно должно быть "число плоскостей", а не "число плоскости"...

[Leader171]

Можно задачу 4 написать по-нормальному? А то ничего не понятно...

[dm]

День второй
26 июля 2007

4. В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $BCA$ пересекает описанную окружность во второй раз, серединный перпендикуляр к $BC$ и серединный перпендикуляр к $AC$ в точках $R$, $P$ и $Q$ соответственно. Середина $BC$ — это $K$, а середина $AC$ — это $L$. Доказать, что треугольники $RPK$ и $RQL$ имеют одинаковую площадь.

5. Пусть $a$ и $b$ — натуральные числа. Показать, что если $(4a^{2}-1)^{2}$ делится на $4ab-1$, то $a=b$.

6. Пусть $n$ — натуральное число. Рассмотрим

$$S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x+y+z > 0 \right \}$$

как множество $(n+1)^{3}-1$ точек в трехмерном пространстве. Определить наименьшее возможное количество плоскостей, объединение которых содержит $S$, но не содержит $(0,0,0)$.

[dm]

Задачи, решенные командой Украины, со слов самих участников:

Цитата:

UKR1 1(a), 2, 4, 5
UKR2 1, 2, 4, 5
UKR3 1, 2, 4, 5
UKR4 1(a), 2, 4
UKR5 1, 2, 4, 5, 6
UKR6 1, 2, 4

Для России такую информацию пока никто не выкладывал.

Добавлено спустя 49 минут 15 секунд:

Первая информация от жюри о результатах, вероятно, начнет появляться в субботу вечером.
Программа.

[Macavity]

dm писал(а):

Задачи, решенные командой Украины, со слов самих участников:

Да, интересно, среди участников украинской команды увидел внука моего любимого институтского преподавателя...

[Leader171]

Чет непонятно с задачей 4 опять... Серединный перпендикуляр к ВС пересекает окружность в точке Р. А где именно? Он же по идее в 2 точках ее пересечь должен!

[dm]

Leader171
Поправил. Теперь вроде однозначно.

[torbich]

Macavity писал(а):

dm писал(а):

Задачи, решенные командой Украины, со слов самих участников:

Да, интересно, среди участников украинской команды увидел внука моего любимого институтского преподавателя...

Не внука, сына

В задаче 4 правильное трактование - биссектриса пересекает окружность, биссектриса пересекает срединные перпендикуляры.

[Macavity]

torbich писал(а):

Не внука, сына

Ага, спасибо.
А я написал, послал, а потом подумал - "может и не внук, надо было написать - родственика".
В любом случае, лицо очень похоже.
А Вы что же, из наших краёв?

[dm]

Macavity писал(а):

А Вы что же, из наших краёв?

torbich - это team leader от Украины на IMO в этом году.
Ну, а упомянутого преподавателя многие знают.

[torbich]

Macavity
Да, из наших
Думаю, первая информация о баллах украинской и российской комманд начнет появляться раньше - возможно, уже и завтра будут результаты.

Про комманду России могу сказать только, что Мария Ильюхина в первый день решила все 3 задачи. Остальные 3-ю не решили. Про второй день пока что не знаю.

[Macavity]

torbich,
dm.
Спасибо, это интересно.

Кстати третья задача любопытная. В обсуждении на MathLinks шло обсуждение и когда я туда заглядывал, то решения ещё не было (я тоже дошел примерно до той же точки), но уже сейчас, похоже пошли подвижки...